各位貴賓，各位同學(xué)，我非常高興有這個(gè)機(jī)會(huì)跟人么多同學(xué)談一談，二十世紀(jì)理論物理學(xué) 的一些發(fā)展，從任何一個(gè)眼光來(lái)講，二十世紀(jì)都是一個(gè)非常有大進(jìn)步的一個(gè)時(shí)期。自人類遠(yuǎn) 祖發(fā)現(xiàn)火以來(lái)，在二十世紀(jì)人類第一次發(fā)現(xiàn)了第二種能源，比火要強(qiáng)的核能，另外人類學(xué)會(huì) 了控制電子的行動(dòng)，從而創(chuàng)造出半導(dǎo)體，引導(dǎo)出來(lái)計(jì)算機(jī)，引導(dǎo)出來(lái)通訊工程，大大提升了 人類的生產(chǎn)力。人類發(fā)現(xiàn)了研究極小結(jié)構(gòu)的方法，從而發(fā)現(xiàn)了雙螺旋的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)出來(lái)生物 工程技術(shù)。人類首次能夠離開(kāi)了地球的引力場(chǎng)，登上了月球。這種種世紀(jì)里面的大事，都與 物理學(xué)的發(fā)展有密切的關(guān)系，可是剛才幾分鐘我所講的都是比較跟實(shí)際生活有關(guān)系的一些發(fā) 展。而物理學(xué)上的也有長(zhǎng)足的發(fā)展，這些長(zhǎng)足的發(fā)展是的我們對(duì)于時(shí)間、空間、運(yùn)動(dòng)、能量、 力量這些最基本，最原始的觀念有了更深入的了解。而如果你想一下子的話，剛才我所講的 跟應(yīng)用比較有關(guān)系的一些發(fā)展，它們其實(shí)都是基于這些原始的、基本的觀念上的革命才能造 成的。最簡(jiǎn)單的比如說(shuō)是計(jì)算機(jī)，如果沒(méi)有半導(dǎo)體的發(fā)展，不可能有今天的計(jì)算機(jī)工業(yè)；如 果沒(méi)有量子力學(xué)的發(fā)展，不可能有半導(dǎo)體的產(chǎn)生。而量子力學(xué)的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然就使得我們對(duì)于 時(shí)間、空間、運(yùn)動(dòng)、能量、力量都有了更深入的了解。所以如果我們說(shuō)二十世紀(jì)的整個(gè)的發(fā) 展是奠基在基本理論物理學(xué)的發(fā)展上，這個(gè)不是言之過(guò)火的一句話。

我今天預(yù)備跟大家提的就是好像是交響樂(lè)里頭的主題旋律themetic melody。那么如下我 們想一下二十世紀(jì)的物理學(xué)里頭有些什么themetic melody呢？那是量子化、對(duì)稱跟相位因 子，這三個(gè)觀念的改變、演進(jìn)、糾纏在一起，造成了二十世紀(jì)理論物理的主體發(fā)展。

第一項(xiàng)是量子化，量子化是在1900年二十世紀(jì)開(kāi)始的時(shí)候，由一個(gè)叫做Marx planck的德 國(guó)人所寫(xiě)的一篇文章中引導(dǎo)出來(lái)的。這個(gè)你們也許看不清楚，這是我從他的那篇文章的第一 頁(yè)上面復(fù)印出來(lái)的。你如果看這篇文章后來(lái)的這一頁(yè)的話，到這個(gè)地方，底下有一個(gè)你們也 許看不清楚，是“B＝6.885×10的負(fù)二十七次方”爾格秒。這是第一次人類引進(jìn)了這么一個(gè) 常數(shù)，這個(gè)常數(shù)今天叫做Planck's Constant（普朗克常數(shù)），而你如果看今天非常準(zhǔn)確的 這個(gè)常數(shù)的值跟一百多年以前普朗克所決定的這個(gè)值只差4％。普朗克當(dāng)時(shí)是非常大膽地寫(xiě) 了這么一篇文章，他說(shuō)這個(gè)光的吸收跟發(fā)射不是一個(gè)連續(xù)的，在那個(gè)以前大家認(rèn)為光發(fā)出來(lái) 或者吸收進(jìn)來(lái)是一個(gè)連續(xù)的步驟，他說(shuō)不是，是一陣子一陣子的，每一陣子叫做一個(gè)量子。 他這個(gè)文章發(fā)表了以后他越想越覺(jué)得恐怕不對(duì)，所以他變得非常的膽怯，如果你去看他以后 幾年的文章的話，你就發(fā)現(xiàn)他一步一步在向后撤退。為什么他要撤退呢？因?yàn)樗胍阉?常大膽的地寫(xiě)出來(lái)這片文章跟傳統(tǒng)的物理學(xué)放在一起，他覺(jué)得不能夠互相相容。可是1905年， 26歲的愛(ài)因斯坦寫(xiě)了一篇文章，他不但沒(méi)有撤退，他向前更進(jìn)了一步，他的這個(gè)大膽當(dāng)時(shí)是 非常驚人的，這一點(diǎn)也是愛(ài)因斯坦一生的工作一個(gè)特點(diǎn)。他最會(huì)抓住非常微妙的，可是當(dāng)時(shí) 是非常重要的領(lǐng)域，向前大大地邁一步。他們的工作又過(guò)了幾年，由當(dāng)時(shí)另外一個(gè)的叫尼爾 斯·玻爾的年輕人在1913年又邁了一步，把普朗克的觀念和常數(shù)引到原子構(gòu)造這一方向。我 想大家念過(guò)高中物理的話，可能都聽(tīng)說(shuō)過(guò)或者了解到一些玻爾當(dāng)時(shí)的想法，玻爾的這個(gè)工作 出來(lái)了以后，因?yàn)樗鷮?shí)驗(yàn)有很多吻合的地方，所以震驚了整個(gè)物學(xué)界。他當(dāng)初是講氫原子， 可是把它運(yùn)用到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，比如說(shuō)是氦原子，有兩個(gè)電子的，就立刻出了一個(gè)非常 困難的問(wèn)題。這個(gè)困難的問(wèn)題最初以為是一個(gè)數(shù)學(xué)的問(wèn)題，可是研究了很多年以后發(fā)現(xiàn)不只 是數(shù)學(xué)的問(wèn)題，雖然數(shù)學(xué)的問(wèn)題并沒(méi)有嚴(yán)密的解，可是可以近似地解，這個(gè)近似的解跟實(shí)驗(yàn) 的結(jié)果差得很遠(yuǎn)。在那個(gè)以后有十幾年的功夫，是物理學(xué)初在一個(gè)非常紊亂的狀態(tài)，在那個(gè) 時(shí)候的工作者是有非常稀奇的心理狀態(tài)，有時(shí)候猜，猜出來(lái)一個(gè)結(jié)果跟實(shí)驗(yàn)吻合，于是大喜 若狂，可是過(guò)兩天想一想覺(jué)得完全不對(duì)，又是非常沮喪。所以在前些年，一位有名的科學(xué)史 專家叫亞伯拉罕·派斯(ABRAHAM PAIS)，他寫(xiě)了一本書(shū)(Niels Bohr's Times, In Physics, Philosophy, and Polity)討論那個(gè)時(shí)候的發(fā)展。那么他引用了查爾斯·狄更斯在 《雙城記》里邊所講的，說(shuō)是“It was the spring of hope ，It was the winter of despair”，那是有希望的春日，那是無(wú)前途的冬夜，這個(gè)確實(shí)是描述了那個(gè)以后十幾年物 理學(xué)家的心態(tài)。又譬如玻爾給盧瑟福，盧瑟福當(dāng)時(shí)是世界最重要的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，玻爾可以 說(shuō)是他的博士后。玻爾在1918年給盧瑟福的一封信說(shuō)，現(xiàn)在我對(duì)此理論之前途十分樂(lè)觀。為 什么他講這話？就是因?yàn)樵谀莻€(gè)以前大家吵得一塌糊涂,不知道是不是整個(gè)這個(gè)方向是錯(cuò)誤的。 又譬如Pauli（泡利），當(dāng)時(shí)一個(gè)非常有名的物理學(xué)家，他在1925年5月給了克羅尼格(Ralph Kronig)一封信，這信上面說(shuō)“物理又進(jìn)入死胡同，對(duì)我來(lái)說(shuō)物理太困難了”。可是過(guò)了五個(gè)月以后又給克羅尼格寫(xiě)了一封信，他說(shuō)Heisenberg（海森堡）的力學(xué)使得我復(fù)蘇。

這上面所講，我引的這些話就是要使得大家了解到當(dāng)時(shí)成功跟失敗的起伏是非常之大的， 這個(gè)現(xiàn)象恐怕是物理學(xué)史里面很少有的。又譬如Hans Kramers給Oskar Klein寫(xiě)了封信，這是1927年，這是在量子力學(xué)基本的一些文章已經(jīng)發(fā)表了以后，在要討論量子力學(xué)的解釋的時(shí)候爭(zhēng)辯的很兇， 玻爾跟海森伯兩人特別爭(zhēng)辯。那么Hans Kramers就給Oskar Klein了封信，他說(shuō)“我們都太厚道，不可介入此爭(zhēng)執(zhí)，玻爾與海森伯都是堅(jiān)持不讓、步步緊逼的能手，會(huì)把我們壓成碎片”。所以我想大家看了這個(gè)可以知道當(dāng)時(shí)的空氣。

在五十年代，大家也許知道R·Oppenheimer（羅伯特·奧本海默）是戰(zhàn)時(shí)在美國(guó)主持原子 彈工作的理論物理學(xué)家，戰(zhàn)后從1949年開(kāi)始他變成普林斯頓高級(jí)研究中心的主任。我在那個(gè) 地方工作了17年，我跟他非常熟，他說(shuō)他就是描述那個(gè)時(shí)代，也可以說(shuō)是1925年以前的二十 年，他說(shuō)“那是這個(gè)在實(shí)驗(yàn)室里耐心工作的時(shí)代，有許多關(guān)鍵性的實(shí)驗(yàn)和大膽的決策，有許 多錯(cuò)誤的嘗試和不成熟的假設(shè)，那是一個(gè)爭(zhēng)執(zhí)通訊與匆忙會(huì)議的時(shí)代，有許多激烈的辯論和 無(wú)情的批評(píng)，里面充滿了巧妙的、數(shù)學(xué)性的擋駕方法。對(duì)于那些參加者，那是這個(gè)創(chuàng)新的時(shí) 代，自宇宙結(jié)構(gòu)的新認(rèn)識(shí)中，他們得到了激奮也嘗到了恐懼。”（大家注意這句話“也嘗到 了恐懼”），“這段歷史恐怕永遠(yuǎn)不會(huì)完全記錄下來(lái)，要寫(xiě)這段歷史需要有像寫(xiě)Oedipus （奧迪帕斯），或?qū)慍romwell（克倫威爾）那樣的筆力，可是由于涉及的知識(shí)距離日常生活 是如此遙遠(yuǎn)，實(shí)在很難想象有任何詩(shī)人或史家能勝任”。

方才我跟大家介紹的是關(guān)于量子化的開(kāi)始的二十世紀(jì)的發(fā)展，下面我給大家介紹一下對(duì)稱。 對(duì)稱這個(gè)觀念在人類的歷史上是非常古遠(yuǎn)的，而且在每一個(gè)不同的文明里頭，在古代都有它 的發(fā)展歷史。對(duì)稱引用到科學(xué)是比較晚的，可是大量引用到物理學(xué)是二十世紀(jì)才有的一個(gè)現(xiàn) 象。對(duì)稱用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言跟不變性有密切的關(guān)系，比如你說(shuō)一個(gè)東西是左右對(duì)稱的，這句話可 以這樣子解釋，就是一張相片拿來(lái)，你把它反過(guò)來(lái)跟原來(lái)一樣。把它反過(guò)來(lái)這件事情有不變 性，這個(gè)就是一個(gè)準(zhǔn)確的史學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述對(duì)稱，所以對(duì)稱跟不變性在數(shù)學(xué)的語(yǔ)言里頭基本上 是一回事。對(duì)稱深入地引入到二十世紀(jì)的物理學(xué)也是從愛(ài)因斯坦開(kāi)始，愛(ài)因斯坦在1905年另 外一篇了不起的文章是狹義相對(duì)論的文章。他這個(gè)狹義相對(duì)論的文章里邊從后來(lái)看，有一個(gè) 不變性，所以有一個(gè)對(duì)稱，可是愛(ài)因斯坦自己并沒(méi)有了解到這一點(diǎn)。愛(ài)因斯坦在1905年的文 章里頭既沒(méi)有Symmetry對(duì)稱這個(gè)觀念，也沒(méi)有不變性這個(gè)觀念。這個(gè)觀念的引入是兩年以后 一個(gè)大數(shù)學(xué)家Minkowski（閔可夫斯基）把它引進(jìn)去的，Minkowski（閔可夫斯基）指出來(lái)愛(ài) 因斯坦1905年的文章里頭有非常重要的不變性，而且這個(gè)不變性是把時(shí)間跟空間連接在一起 的。這個(gè)想法愛(ài)因斯坦起先抗拒，他曾經(jīng)講過(guò)，他說(shuō)Minkowski（閔可夫斯基）的這個(gè)用數(shù)學(xué) 的觀念來(lái)講狹義相對(duì)論是Superfluous learnedness，我可以翻譯成是沒(méi)有用處的艱奧。可是 很快的愛(ài)因斯坦大概再想了一下以后，了解到這個(gè)想法是不對(duì)的，不但這樣，他在以后就發(fā) 現(xiàn)這個(gè)想法不但是對(duì)的，而且要更深入地去研究。關(guān)于這點(diǎn)我們可以從以下這幾句話看出來(lái)， 他在1950年，他71的時(shí)候?qū)懥艘黄恼拢厦嬗懻摿怂簧目茖W(xué)研究的歷史，他說(shuō)“在 1908年我意識(shí)到狹義相對(duì)論也就是Lorentz（洛侖茲）變換下的不變性的要求太狹窄了”。這 個(gè)可以說(shuō)是廣義相對(duì)論的開(kāi)始，就是這句話你看了以后就知道到1908年他已經(jīng)了解到，他本 來(lái)抗拒Minkowski（閔可夫斯基）把不變性、把對(duì)稱引到狹義相對(duì)論里頭這個(gè)觀點(diǎn)是不對(duì)的。 而且不但覺(jué)得Minkowski（閔可夫斯基）的想法是對(duì)的，很顯然你看了這句話就知道他在 1908年開(kāi)始要把這個(gè)擴(kuò)充，他擴(kuò)充到什么呢？他希望到一個(gè)不變性可以在一個(gè)非常廣大的空 間里頭，那么這個(gè)研究了七年到八年，在1915年或者1916年前后寫(xiě)出來(lái)了廣義相對(duì)論。所以 你可以說(shuō)，到了1925年、1926年物理學(xué)里頭對(duì)于對(duì)稱的了解已經(jīng)大大深入了一步，可是這個(gè) 深入的一步遠(yuǎn)遠(yuǎn)的不夠，其中一個(gè)很主要的道理是因?yàn)閷?duì)稱和不變性要引到理論物理學(xué)里頭， 需要更多的數(shù)學(xué)的工具，這個(gè)數(shù)學(xué)的工具物理學(xué)家當(dāng)時(shí)是沒(méi)有的，這個(gè)數(shù)學(xué)的工具最重要的 一個(gè)叫做群論(Group Theory)。群論基本上是在十九世紀(jì)由一些數(shù)學(xué)家所發(fā)展出來(lái)的，物 理學(xué)家對(duì)于群論一直到一九一幾年、一九二幾年為止，是不太了解的，很少有人學(xué)過(guò)群論。 可是到了1925年，海森伯、狄拉克、泡利、玻爾，他們幾個(gè)人引進(jìn)了量子力學(xué)以后，物理學(xué) 家漸漸地了解了Group Theory群論在量子力學(xué)里頭有非常重要的應(yīng)用。那個(gè)時(shí)候推動(dòng)Group 理論到物理學(xué)里頭最重要的兩位，一位是一個(gè)大數(shù)學(xué)家Hermann Weyl（赫爾曼·外爾），一 位是一個(gè)大物理學(xué)家叫做Wigner(韋格納)，從1925年到了1970年，這個(gè)對(duì)稱就漸漸變成了 一個(gè)主題旋律，這個(gè)里頭包含了對(duì)于群論的了解，對(duì)于對(duì)稱跟不變性的了解。那么還有一件 事情是在1956年到1958年發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒，宇稱不守恒現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)是因?yàn)樵谀莻€(gè)以前大家 覺(jué)得對(duì)稱既然這么重要，所以宇宙之間一定是極度對(duì)稱的。那么這個(gè)想法當(dāng)然在后來(lái)有些改 變，可是對(duì)于對(duì)稱的重要性沒(méi)有問(wèn)題，還是大家都繼續(xù)在接受著。可是在1954到1956年之間， 發(fā)生了一個(gè)謎，這個(gè)謎叫做（θ-τ）之謎。

我不必跟大家解釋這是樣一個(gè)謎，就發(fā)展說(shuō)是當(dāng)時(shí)的想法不太對(duì)，根據(jù)原來(lái)的想法，有一些基本粒子里頭的現(xiàn)象不能了解，那么后來(lái)發(fā)現(xiàn)這個(gè)原因了，宇宙雖然非常對(duì)稱，可是略微有一點(diǎn)點(diǎn)不對(duì)稱的地方。那么這個(gè)略微有一點(diǎn)點(diǎn)不對(duì)稱的地方就叫做宇稱不守恒，那么這個(gè)實(shí)驗(yàn)方面是由吳健雄跟她所領(lǐng)導(dǎo)的一組實(shí)驗(yàn)工作者在1957年初所發(fā)現(xiàn)的。她曾經(jīng)說(shuō)她絕對(duì)不相信宇稱不守恒，所以說(shuō)她可以跟人打隨便多少錢的賭，說(shuō)吳健雄的實(shí)驗(yàn)一定證明宇稱是守恒的。那么等到發(fā)現(xiàn)不守恒了以后呢，她就講了“幸虧沒(méi)有人跟我打賭，否則今天我沒(méi)有夠多的錢可輸，現(xiàn)在這樣我丟了些臉，可是我還有夠多的聲譽(yù)可丟”。也因?yàn)檫@樣的緣故，所以在1957年、1958年到1959年這兩年之間，對(duì)稱在物理學(xué)里頭的重要性達(dá)到了極高峰，而且知道對(duì)稱不是那么簡(jiǎn)單，是既有對(duì)稱常常又有小的不對(duì)稱。

剛才我跟大家介紹一下對(duì)稱到物理學(xué)在頭半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，以下我跟大家介紹另外第三 個(gè)主題旋律，是相位因子。相位因子phase factor的觀念最開(kāi)始當(dāng)然不是二十世紀(jì)的，是任 何有波動(dòng)觀念的理論都有相位的觀念，不過(guò)從前對(duì)于這個(gè)相位的重要性沒(méi)有足夠認(rèn)識(shí)。Dirac （狄拉克）是量子力學(xué)奠基人之一，在1972年他講了這么一句話，在那個(gè)以前所有的人都認(rèn) 為量子力學(xué)最重要的一點(diǎn)是不可譯的noncommutative algebra。可是在1972年，在Dirac（狄 拉克）已經(jīng)七十歲的時(shí)候他說(shuō)了“如果有人問(wèn)我量子力學(xué)的主要特點(diǎn)，今天我會(huì)說(shuō)，不是 noncommutative algebra，而是相位（Phase）”。然后他底下就講了這個(gè)相位在量子力學(xué)里 頭的重要性，(So if one asks what is the main feature of quantum mechanics, I feel inclined now to say that it is not noncommutative algebra. It is the existence of probability amplitudes which underlie all atomic processes. Now a probability amplitude is related to experiment but only partially. The square of its modulus is something that we can observe. That is the probability which the experimental people get. But besides that there is a phase, a number of modulus unity which can modify without affecting the square of the modulus. And this phase is all important because it is the source of all interference phenomena but its physical significance is obscure. So the real genius of Heisenberg and Schrodinger, you might say was to discover the existence of probability amplitudes containing this phase quantity which is very well hidden in nature and it is because it was so well hidden that people hadn't thought of quantum mechanics much earlier).總括講起來(lái)他的意思就是說(shuō)，在一個(gè)波動(dòng)的里頭要有相位的觀念。比如說(shuō)是你可以把波峰做90度，波底做270度，然后再到一個(gè)波峰是360度加90度，這樣子的一個(gè)相位的 改變，這個(gè)有任何一個(gè)波動(dòng)的運(yùn)動(dòng)，這是很顯然、很重要的一個(gè)觀念。可是，在一個(gè)粒子、 一個(gè)電子在走的時(shí)候，或者是一個(gè)質(zhì)子在走的時(shí)候就不顯然要有相位的觀念，可是通過(guò)了量 子力學(xué)，我們知道波動(dòng)的理論跟粒子的理論其實(shí)是一回事情，所以整個(gè)物理學(xué)里頭相位的觀 念就變的非常的重要了。可是狄拉克剛才所講的相位的觀點(diǎn)在量子力學(xué)里頭的重要性還不夠 描述今天我們對(duì)于相位因子的重要性的了解，這個(gè)發(fā)展是在1918年由Hermann Weyl（赫爾曼·外爾）所引進(jìn)的。那個(gè)時(shí)候Hermann Weyl受到了愛(ài)因斯坦的影響，愛(ài)因斯坦在那個(gè)以前兩 年發(fā)表了廣義相對(duì)論震驚了整個(gè)的物理學(xué)界。然后愛(ài)因斯坦就說(shuō)，這個(gè)廣義相對(duì)論對(duì)于引力 場(chǎng)有一些了解，廣義相對(duì)論以前有Maxwell方程式對(duì)于電磁學(xué)有一些了解，應(yīng)該把這兩個(gè)合在 一起變成統(tǒng)一場(chǎng)論unified field theory。所以這是愛(ài)因斯坦所提出來(lái)的一個(gè)方向，而這 個(gè)方向在以后幾十年是愛(ài)因斯坦一直想要促成的一個(gè)研究方向。那么愛(ài)因斯坦不在了以后， 今天還繼續(xù)是理論物理學(xué)的中心問(wèn)題之一。Weyl（外爾）比愛(ài)因斯坦大概年輕六歲，他受了 愛(ài)因斯坦這個(gè)想法的影響，他于是就想出來(lái)一個(gè)方法，要想把電磁學(xué)跟引力場(chǎng)連在一起，那 么他研究出來(lái)的理論現(xiàn)在叫做規(guī)范理論。規(guī)范的意思是大小，gauge是量的意思，規(guī)范理論英 文是gauge theory，為什么叫g(shù)auge theory呢？因?yàn)楫?dāng)初Weyl（外爾）是在想量一個(gè)東西， 那么把這個(gè)I加入以后呢，量這個(gè)東西就變成了相位。所以通過(guò)了Fock（福克）跟London （倫敦）以及后來(lái)Weyl（外爾）回來(lái)再寫(xiě)一篇文章以后，這個(gè)規(guī)范理論其實(shí)應(yīng)該叫做相位理 論，而這個(gè)相位理論的基本中心思想就是底下的一句話，說(shuō)是相位因子的隨意性就給了電磁 方程，電磁方程Maxwell方程是1865年Maxwell所寫(xiě)下來(lái)的，這當(dāng)然是人類歷史上一個(gè)大的貢 獻(xiàn)。可是Maxwell里頭有一個(gè)內(nèi)涵的對(duì)稱性，這個(gè)對(duì)稱性一直到剛才我進(jìn)的1918年、1927年、 1929年，Weyl、Fock、London他們幾個(gè)人的工作才使得大家了解，這個(gè)了解用一句話來(lái)講就 是相位因子的隨意性，什么叫隨意性呢？就是說(shuō)相位因子可以改，你改了以后不影響電磁方 程，這個(gè)觀念是規(guī)范性理論的中心思想。

方才半個(gè)鐘頭我給大家介紹了三個(gè)主旋律，量子化、對(duì)稱跟相位因子，到了二十世紀(jì)的 的后半世紀(jì)，可以說(shuō)是主題主體的基本理論物理學(xué)的發(fā)展就是這三個(gè)主旋律的展開(kāi)、變奏跟 交織。developments variation and interlace，非常有意思的是它們之間糾纏在一起， 我這個(gè)糾纏在一起，我想跟symphony music（交響樂(lè)）里邊的development是很像的。這其 間有一個(gè)我特別要給大家提出來(lái)的是有一個(gè)公式，這個(gè)公式是Feynman的想法，F(xiàn)eynman把量 子力學(xué)的基礎(chǔ)改寫(xiě)了一個(gè)方法，他引進(jìn)了一個(gè)Propagator的觀念，而這個(gè)Propagator寫(xiě)成一 個(gè)路徑積分，Path integral寫(xiě)出來(lái)是這樣的，這個(gè)我認(rèn)為沒(méi)有問(wèn)題，是Feynman一生最重要 的貢獻(xiàn)，F(xiàn)eynman有很多的貢獻(xiàn)，研究生最容易注意到的是他的費(fèi)曼圖貢獻(xiàn)。費(fèi)曼圖的貢獻(xiàn)雖 然重要，我想遠(yuǎn)不如這個(gè)方程式的重要，因?yàn)檫@個(gè)方程式把量子力學(xué)的精神抓住了，而且這 個(gè)方程式非常有意思，把剛才我講的三個(gè)主旋律都糾纏在一起。第一，你看這有個(gè)h，這就 是普朗克的常數(shù)，所以這個(gè)方程式與量子化有直接的關(guān)系。另外這個(gè)方程式整個(gè)是這樣子的 一個(gè)積分，這個(gè)exp[i/h（activn）]就是一個(gè)相位因子，是一個(gè)更復(fù)雜的想法的相位因子。 而這個(gè)跟對(duì)稱有什么關(guān)系呢？有極為密切的關(guān)系，跟規(guī)范對(duì)稱有極為密切的關(guān)系。因?yàn)橐?guī)范 對(duì)稱我剛才是說(shuō)在變的時(shí)候它的物理不變，那么這個(gè)通過(guò)這個(gè)路徑積分是完全顯示出來(lái)的， 所以我認(rèn)為這個(gè)方程式是把剛才所講的三個(gè)主旋律糾纏在一起寫(xiě)成一個(gè)方程式，這是非常妙 的一個(gè)方程式。而這個(gè)方程式我所以覺(jué)得它重要的原因，是因?yàn)檫@個(gè)方程式的數(shù)學(xué)意義到現(xiàn) 在還沒(méi)有了解，這個(gè)路線積分到底是怎么一回事情，是到現(xiàn)在為止還沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的 定義。所以我想這正是二十一世紀(jì)前一些年，年輕的物理學(xué)家可以在里頭發(fā)展他的天地的地 方。

這個(gè)規(guī)范對(duì)稱在一九二九年到五十年代之間，大家都了解它是很妙的，可是到了五十年 代中葉，這個(gè)規(guī)范對(duì)稱需要推廣，這個(gè)推廣就把p-eA（p-eA是規(guī)范對(duì)稱方程式里頭的一個(gè)重 要的觀念）稍微改變，變成p-eB。A是一個(gè)場(chǎng)，B是一個(gè)矩陣場(chǎng)，所以B比A稍微復(fù)雜一點(diǎn)，這 個(gè)方程式叫做非Abel規(guī)范場(chǎng)。Abel是一個(gè)大數(shù)學(xué)家，他是19世紀(jì)初年一個(gè)挪威人，他不幸在 二十幾歲就過(guò)去了。那么他在群論早年做了一個(gè)非常重要的工作，所以很多的群叫做Abel群， Abel群的特點(diǎn)是它其中的兩個(gè)元素可以對(duì)換，就是AB等于BA，AB等于BA的這種群叫做Abel群。 那么電磁場(chǎng)變成相位因子，那個(gè)相位因子是一個(gè)Abel群。剛才我說(shuō)把A變成B，那個(gè)B是一個(gè) 方陣（矩陣）了以后，這一變成方陣（矩陣）以后它就不能夠?qū)Q了，所以就變成非Abel群， 這個(gè)非Abel群所產(chǎn)生出來(lái)的規(guī)范場(chǎng)叫做non-Abelian gauge field。最近這二十五年以來(lái)， 高能物理里頭的所有這些實(shí)驗(yàn)都是可以用非Abel規(guī)范場(chǎng)來(lái)描述的，不過(guò)中間加進(jìn)了一個(gè)新的 一點(diǎn)，這點(diǎn)是對(duì)稱破缺。因?yàn)檫@個(gè)緣故，所以我在七十年代的末年把這個(gè)歸納起來(lái)，我說(shuō)這 個(gè)可以是講成是對(duì)稱支配相互作用。就是說(shuō)所有的相互作用它的基本的方程式是由對(duì)稱來(lái)決 定的，這個(gè)決定的方法就是非Abel規(guī)范場(chǎng)。這個(gè)話到現(xiàn)在大家都同意，可是還有一點(diǎn)沒(méi)有解 決，就是怎么能夠把愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論也變成一個(gè)非Abel規(guī)范場(chǎng)。所有的人都知道，這 兩個(gè)的構(gòu)造非常之類似，所以一定是一個(gè)非Abel規(guī)范場(chǎng)，可是這里頭有一些到現(xiàn)在還沒(méi)能解 決的問(wèn)題，這也可以說(shuō)是這二十年來(lái)基本理論物理學(xué)中心的問(wèn)題，而這個(gè)問(wèn)題我想還要延續(xù) 到二十一世紀(jì)。

另外，我覺(jué)得特別值得給大家提的是對(duì)稱相位因子和纖維叢的觀念，等到物理學(xué)家對(duì)于相 位因子非Abel比較從實(shí)際的出發(fā)，多了一些了解以后呢，忽然發(fā)現(xiàn)到原來(lái)在七十年代，整個(gè) 的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)展了二三十年的一個(gè)觀念，叫做纖維叢是有密切的關(guān)系。我個(gè)人 第一次了解到這兩個(gè)有關(guān)系，是因?yàn)樵?968年、1969年前后我在Stony Brook教廣義相對(duì)論的時(shí)候，我就寫(xiě)了一個(gè)方程式，叫做Riemann curvature，這是廣義相對(duì)論里邊也是Riemann Geometry基本的觀念。我把那個(gè)觀念寫(xiě)在黑板上了以后，忽然發(fā)現(xiàn)原來(lái)這個(gè)方程式跟二十多年以前Mills跟我在1954年所寫(xiě)的非Abel規(guī)范場(chǎng)的方程式很像，所以下課以后我就仔細(xì)去研究到底有多么像，研究清楚了以后發(fā)現(xiàn)它不是像，它根本就是一回事情，只是要把一些觀念稍微改一改，改了以后就完全一樣了。所以我就去找了一個(gè)當(dāng)時(shí)石溪(Stony Brook)的數(shù)學(xué)系主任，叫做James Harris "Jim" Simons(詹姆斯·西蒙斯)，他當(dāng)時(shí)是一個(gè)很有名的數(shù)學(xué)家，我告訴了他這些事情，他說(shuō)這些都是纖維叢，我說(shuō)什么是纖維叢呢？他就給了我一本書(shū)，這本書(shū)是一個(gè)叫做Steenrod的人寫(xiě)的(Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press)，非常有名的一本書(shū)，所以我就拿回去看，看了以后呢，不懂，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)學(xué)家的語(yǔ)言現(xiàn)在非常之枯燥。所以后來(lái)有一次在南朝鮮一個(gè)演講里頭我就講了這個(gè)故事，我說(shuō)現(xiàn)在這個(gè)數(shù)學(xué)書(shū)只有兩種，一種你看完第一頁(yè)你就看不下去了，還有一種你看完第一句話你就看不下去了。不過(guò)非常驚人的，這個(gè)看不下去的纖維叢等到后來(lái)我了解了以后，確實(shí)是把規(guī)范場(chǎng)的精神給它吸收進(jìn)去了，而這個(gè)發(fā)展從數(shù)學(xué)家的立場(chǎng)講起來(lái)是非常自然的。所以這個(gè)數(shù)學(xué)跟物理的關(guān)系是一個(gè)非常微妙的關(guān)系，可是有不同的價(jià)值觀，有不同的傳統(tǒng)。而纖維叢的觀念引進(jìn)來(lái)很自然地就把拓?fù)鋵W(xué)引進(jìn)到物理里頭。拓?fù)鋵W(xué)是二十世紀(jì)的主流數(shù)學(xué)之一，可以說(shuō)是以前的數(shù)學(xué)里頭沒(méi)有這個(gè)主要的觀念。

總結(jié)一下，我給大家介紹了一下這三個(gè)主旋律，這三個(gè)主旋律直接影響了我們對(duì)于時(shí)間、空間、運(yùn)動(dòng)、能量、力量的基本了解。這個(gè)非常有意思的一件事情是，從非常長(zhǎng)遠(yuǎn)的觀點(diǎn)來(lái) 講起來(lái)，這三個(gè)主旋律在很早的人類歷史上都有過(guò)零星的討論。比如說(shuō)量子化，希臘人Democritus（德穆克里特）就已經(jīng)討論了原子，Zeno（芝諾）討論了連續(xù)跟不連續(xù)的分野，中國(guó)的莊子在公元前300年左右也討論了連續(xù)跟不連續(xù)之間的哲學(xué)的問(wèn)題。可是這些量子化跟 二十世紀(jì)所講的量子化有類似的地方，可是有個(gè)主要的不一樣。這個(gè)二十世紀(jì)的量子化是運(yùn) 動(dòng)量的量子化，不是一個(gè)原子、分子的這種，那么這個(gè)所以說(shuō)是把量子化的觀念給它加了一 個(gè)重要的改變以后，這個(gè)是左右了二十世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的一個(gè)非常的元素。講到對(duì)稱的話， 那么希臘人對(duì)于對(duì)稱是非常注意的，從公元前600年到公元前500年，尤其是Pythagoras，他 們對(duì)于圓的對(duì)稱性，認(rèn)為這個(gè)是支配宇宙一切的一切的最基本的元素。那么這個(gè)對(duì)稱性到今 天發(fā)展來(lái)發(fā)展去，這個(gè)對(duì)稱最重要的是非Abel的Lie group，所以這也是從一個(gè)很長(zhǎng)遠(yuǎn)大家就 認(rèn)識(shí)到的一個(gè)重要的觀念里頭，把它的細(xì)節(jié)了解了以后，把它變成準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)的語(yǔ)言的另外 一個(gè)例子。那么講到相位呢，當(dāng)然我們知道月亮的盈虧，四季的循環(huán)，這些都是任何一個(gè)古 文化里頭都有的觀念，可是今天特別重要的是相位因子的隨意性，它的伸縮性，它雖然伸縮 但它不影響方程式的結(jié)果，這個(gè)是規(guī)范場(chǎng)的基本的觀念。而這個(gè)觀念注入到就相位因子以后， 就慢慢地產(chǎn)生出來(lái)今天的二十世紀(jì)的物理，謝謝。

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美與物理(楊振寧)

十九世紀(jì)物理學(xué)最重要的兩個(gè)貢獻(xiàn)，一個(gè)是電磁學(xué)，一個(gè)是統(tǒng)計(jì)力學(xué)。統(tǒng)計(jì)力學(xué)最主要的創(chuàng)建人是三個(gè)，一個(gè)是麥克斯韋，一個(gè)玻爾茲曼，一個(gè)叫做吉布斯，其中玻爾茲曼寫(xiě)過(guò)很多通俗的文章，那么我今天就從他的一段話來(lái)跟大家開(kāi)始談?wù)劇Ｋf(shuō)，"一個(gè)音樂(lè)家在聽(tīng)到幾個(gè)音節(jié)以后，就能辨認(rèn)出來(lái)莫扎特、貝多芬或者舒伯特的音樂(lè)，同樣一個(gè)數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家，也能在念了幾頁(yè)文字以后，就辨認(rèn)出來(lái)柯西、高斯、雅可比、亥姆霍茲或者克爾期豪夫的工作"，他的這段話我覺(jué)得很有意思，為了解釋這段話，我曾經(jīng)跟幾個(gè)朋友講這樣幾句，我說(shuō)，"大家知道，每一個(gè)畫(huà)家、音樂(lè)家、作家都有他自己獨(dú)特的風(fēng)格，也許有人會(huì)以為，科學(xué)與文藝不同，科學(xué)是研究事實(shí)的，事實(shí)就是事實(shí)，什么叫做風(fēng)格，要討論這一點(diǎn)，讓我們拿物理學(xué)來(lái)講，物理學(xué)的原理有它的結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)有它的美跟妙的地方，而各個(gè)物理學(xué)工作者對(duì)于這個(gè)結(jié)構(gòu)的不同的美跟妙的地方的感受，有不同的了解，因?yàn)榇蠹矣胁煌母惺埽悦恳粋€(gè)工作者就會(huì)發(fā)展他自己獨(dú)特的研究方向跟研究方法，也就是說(shuō)他會(huì)形成他自己的風(fēng)格"，那么這段話我希望在底下幾十分鐘給大家詳細(xì)解釋一下。

為了做這件事情，我先給大家介紹兩個(gè)二十世紀(jì)的大物理學(xué)家，第一位叫做狄拉克，他是英國(guó)人，1902年出生,是一個(gè)非常有意思的人，他很少講話，而你要聽(tīng)他講話的話，你覺(jué)得他這個(gè)想法跟一般的人都不一樣，那么關(guān)于他的故事非常之多，所以我給大家只講一兩個(gè)。狄拉克講話很少，他講話了你要聽(tīng)的話，他有他自己的思維方法跟他的邏輯，我給大家只舉兩個(gè)例子。

第一個(gè)例子，是他有一天在演講，演講完了以后有個(gè)學(xué)生說(shuō)"狄拉克教授，我不懂你剛才這個(gè)所講的理論"，于是狄拉克就又解釋了一下，解釋完了以后，那個(gè)學(xué)生說(shuō)"狄拉克教授你剛才講的這個(gè)，跟你以前所講的每一個(gè)字都是一樣的"，狄拉克說(shuō)"這不稀奇，因?yàn)檫@是最好的講法"。另外一個(gè)故事是，他在普林斯頓的一個(gè)演講，普林斯頓的介紹他的教授，在他演講完了以后就說(shuō)"狄拉克教授可以回答你們的問(wèn)題"，有的學(xué)生就說(shuō)"狄拉克教授你剛才那個(gè)方程式（3），是怎么從方程式（2）演化出來(lái)的？"，狄拉克不講話，于是介紹他的人等了幾分鐘，就說(shuō)"狄拉克教授，請(qǐng)你回答他的問(wèn)題"，狄拉克說(shuō)"他只講了一句話，他沒(méi)有問(wèn)問(wèn)題"。

狄拉克最重要的工作，是在1928年，他寫(xiě)了一篇文章，這個(gè)文章上面有一個(gè)很簡(jiǎn)單的一個(gè)方程式，一個(gè)非常簡(jiǎn)單的一個(gè)方程式，可是這個(gè)方程式有不得了的貢獻(xiàn)，它奠定了今天原子、分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，它解釋了為什么電子有自旋，自旋的意思就是每一個(gè)電子都是在那兒象陀螺一樣在那兒轉(zhuǎn)，電子有自旋這個(gè)事情不是狄拉克發(fā)現(xiàn)的，在那以前幾年，已經(jīng)有人提出來(lái)，電子一定有一個(gè)自旋，可是不知道為什么要有自旋，剛才我說(shuō)的這個(gè)簡(jiǎn)單的方程式，你去了解了它的真正的意義以后，你自然而然就知道，電子一定要有一個(gè)自旋。而且這個(gè)電子的自旋跟自旋在一起的是一個(gè)磁矩，就是象一個(gè)小磁鐵，這個(gè)磁鐵，電子這個(gè)有自旋有磁鐵這件事情也不是狄拉克發(fā)現(xiàn)的，是當(dāng)時(shí)已經(jīng)知道了，可是沒(méi)有人知道為什么要有磁矩，而用剛才所念出來(lái)這個(gè)方程式就很自然的知道有磁矩，而且這個(gè)磁矩可以定量的用這個(gè)方程式算出來(lái)。而且這個(gè)磁矩跟電子軌道行動(dòng)的關(guān)系，也是一個(gè)本來(lái)猜想到了，可是不懂為什么緣故是那樣，也是被他的這個(gè)方程式所解釋了。你想這樣簡(jiǎn)單的一個(gè)方程式，把當(dāng)時(shí)困擾大家的三個(gè)重要的問(wèn)題都解決了，所以這個(gè)當(dāng)然是震驚了當(dāng)時(shí)物理學(xué)界。

Dirac equation,http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation

我想最好的方法來(lái)描述這個(gè)，就是這是一個(gè)神來(lái)之筆，可是這個(gè)神來(lái)之筆并不這么簡(jiǎn)單，就被所有的人都認(rèn)為是絕對(duì)對(duì)的，因?yàn)樗隽艘粋€(gè)新的問(wèn)題，這個(gè)新的問(wèn)題叫做負(fù)能問(wèn)題，Negative energy，大家知道通常"能"都是正的，他這個(gè)方程式，你去算了一下以后，會(huì)得出來(lái)一個(gè)非常稀奇的現(xiàn)象，說(shuō)電子可有負(fù)能，這個(gè)負(fù)能當(dāng)時(shí)是不可思議的一件事情，所以很多人懂了他的這個(gè)工作的第一步以后，覺(jué)得這個(gè)東西是妙不可言，可是又覺(jué)得這個(gè)里頭有非常奇怪的、不能夠了解的、絕對(duì)不會(huì)對(duì)的事情，那么所以以后幾年，就有種種人批評(píng)狄拉克，說(shuō)他這個(gè)工作，看起來(lái)對(duì)是碰巧，其實(shí)是不對(duì)的。可是狄拉克堅(jiān)持，到了1931年，他更進(jìn)一步，他說(shuō)"不但這個(gè)負(fù)能是應(yīng)該有的，而且有了這個(gè)負(fù)能以后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的，重要的一個(gè)現(xiàn)象"，當(dāng)時(shí)還沒(méi)有看見(jiàn)，就是說(shuō)任何一個(gè)電子，都會(huì)跟它俱來(lái)的有一個(gè)叫做反粒子，anti-particle，每一個(gè)粒子都有一個(gè)反粒子，這個(gè)反粒子跟這個(gè)粒子完全一樣，可是它的電荷是相反的，這個(gè)當(dāng)時(shí)又是大家所不能接受的。人家說(shuō)你從來(lái)沒(méi)有看見(jiàn)過(guò)任何一個(gè)反粒子，你怎么隨便就講有個(gè)反粒子呢？可是過(guò)了一年以后，加州理工大學(xué)有一個(gè)年輕的，他其實(shí)是博士生，叫做卡爾·安德森，他在第二年，用云霧室照出來(lái)了一個(gè)軌道，這個(gè)軌道是一個(gè)正電子，就是正是剛才所講的，狄拉克所講的電子的反電子，因?yàn)樗戳Ｗ樱驗(yàn)樗菐е姡@一來(lái)的話，大家知道狄拉克的這個(gè)方程式不但是對(duì)，而且完全是對(duì)的，他預(yù)言出來(lái)了一個(gè)從前大家不曉得的一個(gè)新的現(xiàn)象。

所以，如果你想一想狄拉克，他是一個(gè)人話講得很少，可是他話的內(nèi)涵有簡(jiǎn)單的、直接的、原始的邏輯性，懂了他的想法以后，你會(huì)拍案叫絕。我想了想，用什么樣子的中國(guó)的傳統(tǒng)的話，可以描述看了他的文章以后，嘆服了他這個(gè)工作的重要性以后的對(duì)于他這個(gè)文章的看法是什么，我想最好是說(shuō)"秋水文章不染塵"，因?yàn)樗倪@個(gè)文章確實(shí)是里頭一點(diǎn)渣滓都沒(méi)有的，是清楚極了，假如你懂他的邏輯的思維方法。

我曾經(jīng)想，要想跟我的文史的朋友介紹看了狄拉克的文章的感受，應(yīng)該怎么樣講法呢？那么最后我發(fā)現(xiàn)到了，唐朝的詩(shī)人高適，他有一首詩(shī)《答侯少府》，上面有這樣兩句"性靈出萬(wàn)象，風(fēng)骨超常倫"，我覺(jué)得這兩句話用來(lái)形容狄拉克的風(fēng)格是最好的。為什么呢？"性靈出萬(wàn)象"，這個(gè)"萬(wàn)象"用來(lái)描述狄拉克方程式的影響，那是再恰當(dāng)不過(guò)了，它解釋了無(wú)數(shù)的物理、化學(xué)的現(xiàn)象，它是今天的原子、分子結(jié)構(gòu)的最重要的一個(gè)方程式。為什么說(shuō)"風(fēng)骨超常倫"呢？這也是我剛才已經(jīng)跟大家大概介紹了一下，他在1928年到1932年四年之間，他不顧當(dāng)時(shí)最有名的幾個(gè)物理學(xué)家的反對(duì)，的冷譏熱嘲，這幾個(gè)最有名的物理學(xué)家，包括尼爾斯·玻爾，包括海森伯，包括泡利，他們都是在嘲笑狄拉克，說(shuō)狄拉克想入非非，他做的東西是不對(duì)的，可是這個(gè)狄拉克是堅(jiān)持的，所以他確實(shí)是"風(fēng)骨超常倫"。那么什么叫做"性靈"呢，"性靈"據(jù)我所知道，是在明朝公安派的文學(xué)批評(píng)家"三袁"，他們所最早提出來(lái)的，其中袁宏道講他的弟弟袁中道的詩(shī)，我念這個(gè)他講他弟弟的詩(shī)，"獨(dú)抒性靈，不拘格套，非從自己胸臆流出，不肯下筆"。這幾句話拿來(lái)形容狄拉克的風(fēng)格是最恰當(dāng)不過(guò)了。

底下我要給大家介紹另外一個(gè)二十世紀(jì)的大物理學(xué)家，叫做海森伯，我想很多人會(huì)以為海森伯比起狄拉克還要略勝一籌，海森伯是德國(guó)人，1901年出生，1976年過(guò)去的，我也帶了一個(gè)海森伯的相片，這個(gè)是他24歲的時(shí)候還沒(méi)有做出來(lái)他最重要的工作的時(shí)候的相片，今年12月，是他的100周年生日，要在慕尼黑有一個(gè)慶祝。

他所做的工作是開(kāi)始了量子力學(xué)的第一步，二十世紀(jì)物理學(xué)里頭，最最重要的幾個(gè)發(fā)展里頭之一就是量子力學(xué)，在二十世紀(jì)以前，物理里頭的數(shù)目、數(shù)據(jù)都是連續(xù)的，你說(shuō)是這個(gè)東西的家數(shù)是A，這個(gè)A是一個(gè)連續(xù)的，不是一個(gè)是跳躍的，可是在二十世紀(jì)的頭二十年，發(fā)現(xiàn)到這個(gè)跟原子、分子物理不符合，所以后來(lái)就產(chǎn)生出來(lái)量子的這個(gè)觀念。可是量子化的這件事情是一個(gè)非常困難的，因?yàn)橐雅ｎD，從牛頓開(kāi)始建立起來(lái)的物理系統(tǒng)整個(gè)要改觀，那么這個(gè)革命性的發(fā)展不是一天兩天所能做到的，所以二十世紀(jì)頭25年是有種種的紛擾。在50年代美國(guó)一個(gè)重要的物理學(xué)家叫做奧本海默，大家也許曉得，奧本海默非常有名的地方是因?yàn)樗诖蛘痰臅r(shí)候主持了美國(guó)的原子彈的制造的工作，他是非常會(huì)講話的一個(gè)人，他在50年代在英國(guó)的一個(gè)演講里頭，描述了那個(gè)頭25年物理學(xué)的一個(gè)工作者之間的一個(gè)空氣，他說(shuō)，"那是一個(gè)在實(shí)驗(yàn)室里耐心工作的時(shí)代，有許多關(guān)鍵性的實(shí)驗(yàn)和大膽的決策，有許多錯(cuò)誤的嘗試和不成熟的假設(shè)，那是一個(gè)真摯通訊與匆忙會(huì)議的時(shí)代，有許多激烈地辯論跟無(wú)情的批評(píng)，里面充滿了巧妙的數(shù)學(xué)性的擋駕方法，對(duì)于那些參加者，那是一個(gè)創(chuàng)新的時(shí)代，自宇宙結(jié)構(gòu)的新認(rèn)識(shí)中，他們得到了激奮，也嘗到了恐懼，這段歷史恐怕永遠(yuǎn)不會(huì)被完全記錄下來(lái)，要寫(xiě)這段歷史需要有象歐迪帕斯或象克倫威爾那樣的筆力，可是由于涉及的知識(shí)距離日常生活是如此遙遠(yuǎn)，實(shí)在很難想象有任何詩(shī)人或史家能勝任"。

所以這二十幾年的經(jīng)歷確實(shí)是被奧本海默所描述的很恰當(dāng)?shù)模敲丛谀菢永щy的時(shí)候，一個(gè)年輕的24歲的海森伯出現(xiàn)了，他寫(xiě)了一篇文章，這個(gè)文章象一個(gè)方向邁了一步，這個(gè)方向現(xiàn)在叫做量子力學(xué)，而這個(gè)方向后來(lái)發(fā)揚(yáng)光大，就變成了二十世紀(jì)以后的幾乎是全體物理學(xué)里頭最最重要的幾個(gè)原則之一。年輕的海森伯怎么忽然能夠走了這一步，從前人沒(méi)有走過(guò)的呢？他在晚年的時(shí)候，曾經(jīng)有過(guò)一篇文章上講這個(gè)經(jīng)歷，海森伯喜歡爬山，所以很自然的他就把爬山拿來(lái)做一個(gè)例子，他說(shuō)"爬山的時(shí)候，你想爬某個(gè)山峰，但往往到處是霧，你有地圖或別的縮影之類的東西，知道你的目的地，但是人墮入霧中，不知道要向什么方向走，然后忽然你模糊的自霧中看到一些形象，你說(shuō)哦，這就是我要找的大石頭，整個(gè)情形從此而發(fā)生了突變，因?yàn)殡m然你仍然不知道你能不能爬到那塊大石，但是在那一瞬間，你說(shuō)我現(xiàn)在知道我在什么地方，我必須爬近那塊大石，然后就可能知道該如何前進(jìn)了"，他這幾句話確實(shí)是描述了他的第一篇文章里頭所講的事情，因?yàn)樗](méi)有完全懂他在第一篇文章里所講的，他是一個(gè)嘗試，是一個(gè)很模糊的一個(gè)印象，他這個(gè)文章寫(xiě)出來(lái)了以后，他要去渡假，他就把它留給他的導(dǎo)師叫做玻恩，玻恩比他年長(zhǎng)了十幾歲，玻恩有數(shù)學(xué)的修養(yǎng)，是海森伯所沒(méi)有的，玻恩看了他這個(gè)文章以后，知道海森伯里邊所講的數(shù)學(xué)，是一個(gè)從前物理學(xué)家沒(méi)有用的數(shù)學(xué)，叫做矩陣，海森伯因?yàn)閿?shù)學(xué)修養(yǎng)不夠，所以不知道他所做的東西是矩陣，結(jié)果玻恩就跟另外一個(gè)比較年輕的物理學(xué)家寫(xiě)了一篇文章，然后海森伯回來(lái)了以后，他們?nèi)齻€(gè)人又合寫(xiě)了一篇文章，這三篇文章奠定量子力學(xué)的基礎(chǔ)，今天物理里頭叫做one man paper 、two men paper、three men paper，這三篇文章的開(kāi)始，就是量子力學(xué)的奠基的地方。

量子力學(xué)是物理學(xué)史上的大革命，我想也是人類的歷史上一個(gè)大革命，不講它對(duì)于純粹物理學(xué)的貢獻(xiàn)，單講大家可以了解到的對(duì)于日常生活的貢獻(xiàn)，核能發(fā)電、核武器、激光、半導(dǎo)體元件以及今天的計(jì)算機(jī)通信工程，所有這些工程都不可能發(fā)生，假如沒(méi)有量子力學(xué)。海森伯24歲的時(shí)候?qū)懥诉@個(gè)文章，到了26歲，他就變成萊比錫（大學(xué)），理論物理學(xué)系的主任，他愛(ài)打乒乓球，打得很好，所以獨(dú)霸那一系，而他是很好勝的，一直到一個(gè)從美國(guó)來(lái)的博士后，這個(gè)博士后來(lái)了以后，海森伯只得屈居亞軍，打敗海森伯這位乒乓球的博士后的名字，我想大家都是熟悉的，叫做周培源。

那么，海森伯跟比如說(shuō)狄拉克之間的關(guān)系是什么呢？他們的關(guān)系很好，可是也有激烈的競(jìng)爭(zhēng)，因?yàn)樗麄兌际钦驹谧钋把厣厦娴模运麄兌贾缹?duì)方的工作是非常重要的，所以每一個(gè)工作都仔細(xì)注意。在1928年狄拉克寫(xiě)出來(lái)了他的，剛才我給大家介紹的狄拉克方程式以后，海森伯跟泡利，泡利是他最熟的物理學(xué)家朋友，不懂狄拉克怎么能夠想出來(lái)他這個(gè)奇怪的方程式，因?yàn)檫@個(gè)方程式是歷史上從來(lái)沒(méi)有人向那個(gè)方面寫(xiě)的，所以他們不懂。那么，因?yàn)檫@樣子，他有點(diǎn)困擾，今天我們可以從海森伯給他的朋友泡利寫(xiě)的一封信上面看到他當(dāng)時(shí)的心情。他的信上面說(shuō)"為了不持續(xù)的被狄拉克所煩擾，我換了一個(gè)題目做"，這就是代表他跟泡利不懂，這個(gè)狄拉克怎么能夠出這種稀奇的想法，而得出來(lái)非常重要的結(jié)果，那么海森伯在這封信上說(shuō)我換了一個(gè)題目做，然后底下說(shuō)得到了一些成果，這個(gè)成果又是一個(gè)驚人的貢獻(xiàn)，大家知道為什么有磁鐵？磁鐵里頭有很多電子，那些個(gè)電子自旋都向同一個(gè)方向，所以整個(gè)加起來(lái)，它的磁矩加起來(lái)就變成了一個(gè)磁鐵。可是為什么緣故，什么力量使得這許多磁矩向一個(gè)方向走呢？這個(gè)是當(dāng)時(shí)不懂的，而且是一個(gè)困擾了很久的題目，海森伯，他說(shuō)他換了一個(gè)題目，他就是不去研究一個(gè)一個(gè)電子的結(jié)構(gòu)，他去研究很多電子的結(jié)構(gòu)的時(shí)候，他看出來(lái)一個(gè)苗頭，這個(gè)苗頭就是今天我們了解為什么磁鐵能夠成為磁鐵的道理，所以這又是一個(gè)極為重要的工作。

如果我們總結(jié)一下，狄拉克跟海森伯的不同的地方，那么第一樣我們就了解到，狄拉克的研究方法跟海森伯的研究方法是很不一樣的，狄拉克的研究方法可以說(shuō)是循著獨(dú)特的、新的邏輯，無(wú)畏地前進(jìn)，這是他的風(fēng)格；海森伯的研究方法，就象他剛才我給大家念的故事里頭所講的，你覺(jué)得他的文章是在霧里頭摸索，這是他的一個(gè)文章給你的一個(gè)感受。狄拉克的文章你看了以后，跟海森伯的文章看了以后，有相同的地方，有不同的地方。相同的地方是，他們都可以出其不意，有極強(qiáng)的獨(dú)創(chuàng)力，向一個(gè)從前人沒(méi)有想象的方向走，這是他們共同的地方。他們不同的地方呢？是狄拉克的文章非常清楚、非常直接，你看了他的文章覺(jué)得里頭沒(méi)有渣滓，相反的，海森伯的文章是朦朧、繞彎、不清楚，而且有渣滓。你看了狄拉克的文章了，你覺(jué)得這個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)沒(méi)有什么東西可以做了，因?yàn)榉彩钦_的話，狄拉克都講過(guò)了。海森伯的文章完全不一樣，他的每一篇文章里頭，會(huì)有非常深入的見(jiàn)解，也有錯(cuò)誤的想法，所以，海森伯的文章必須要仔細(xì)看，你如果能夠把海森伯文章看了，知道他哪個(gè)是對(duì)的、哪個(gè)是不對(duì)的，你就可以把他不對(duì)的那個(gè)改正了，得出來(lái)很重要的貢獻(xiàn)。所以他們這個(gè)文章給你看的，感受是不一樣的。

那好了，當(dāng)然你就會(huì)問(wèn)了，說(shuō)是為什么兩個(gè)這么聰明的大物理學(xué)家，他們的風(fēng)格會(huì)這樣不一樣呢？我想，這一部分當(dāng)然沒(méi)有問(wèn)題是他們的個(gè)性不一樣，海森伯的個(gè)性比較不接近數(shù)學(xué)，狄拉克的個(gè)性比較接近數(shù)學(xué)，比較接近數(shù)學(xué)的價(jià)值觀，可是這個(gè)還不是唯一的道理，另外還有個(gè)道理，是與物理自己的結(jié)構(gòu)有密切的關(guān)系，物理學(xué)現(xiàn)在是很大的一個(gè)學(xué)問(wèn)，我覺(jué)得可以分成三個(gè)領(lǐng)域。

第一個(gè)領(lǐng)域是實(shí)驗(yàn)的領(lǐng)域，我們叫它叫"（1）"；第二個(gè)領(lǐng)域叫做唯象理論，我們叫它叫"（2）"；第三個(gè)領(lǐng)域叫理論架構(gòu)，我們叫它叫"（3）"，而這個(gè)理論架構(gòu)呢是跟數(shù)學(xué)比較接近的，我們叫它叫"（4）"。如果你用這樣子的一個(gè)宏觀的分野來(lái)看的話呢，那么就覺(jué)得原來(lái)這個(gè)歷史的發(fā)展，是與這個(gè)分野有很密切的關(guān)系。

海森伯在年輕的時(shí)候，他不喜歡數(shù)學(xué)，我剛才已經(jīng)跟大家講過(guò)了，他的一個(gè)最重要的文章寫(xiě)的時(shí)候，他沒(méi)有學(xué)過(guò)方陣，是后來(lái)那個(gè)two men paper跟three menpaper才把他所做的事情跟方陣連在一起。可是到了海森伯晚年，他改過(guò)來(lái)了，通過(guò)了幾十年的經(jīng)驗(yàn)，他了解到數(shù)學(xué)是非常重要的，他在74歲的時(shí)候，寫(xiě)的一篇文章上講，"1921、1922到1927年間，我們經(jīng)常討論，可是總是遇到各種矛盾與困難，我們就是無(wú)法理性的方法來(lái)解決這些困難，有人贊成波動(dòng)理論，有人贊成粒子理論，所以后來(lái)有了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的時(shí)候，這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是量子力學(xué)，實(shí)際上我們的心態(tài)已達(dá)到了十分沮喪的地步，這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)我們來(lái)說(shuō)是一個(gè)奇跡，我們看到了數(shù)學(xué)能做出我們做不出的東西，那當(dāng)然是一個(gè)非常奇異的經(jīng)歷"，請(qǐng)大家注意這句話，"數(shù)學(xué)能做出我們做不出的東西"，這句話就表示了他當(dāng)時(shí)的心態(tài)，他們左沖右突做了很多年，包括他們的老師，前后做了二十幾年，可是做不出來(lái)東西，覺(jué)得實(shí)際的實(shí)驗(yàn)的結(jié)果跟以前的想法有對(duì)的地方、有不對(duì)的地方，是一種非常困難的地方，所以當(dāng)時(shí)他們覺(jué)得他們已經(jīng)沒(méi)有辦法了，忽然引進(jìn)了矩陣這個(gè)觀點(diǎn)以后，數(shù)學(xué)做出來(lái)了我們做不出來(lái)的東西，這就是他晚年回想他在24歲時(shí)候的工作的時(shí)候的一個(gè)感受。

既然講到數(shù)學(xué)跟物理有這么密切的關(guān)系，當(dāng)然可以問(wèn)，數(shù)學(xué)跟物理整個(gè)的關(guān)系是什么呢？或者可以問(wèn)，是許多同學(xué)，物理系的同學(xué)常常要問(wèn)的，是說(shuō)"我作為物理系的學(xué)生，我應(yīng)該學(xué)多少數(shù)學(xué)？"，這個(gè)是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題，不能有一個(gè)很簡(jiǎn)單的解釋，我曾經(jīng)想過(guò)，我把數(shù)學(xué)跟物理的關(guān)系，比喻做兩個(gè)樹(shù)葉子，一個(gè)樹(shù)葉子向這個(gè)方向，一個(gè)樹(shù)葉子向這個(gè)方向，一個(gè)是物理，一個(gè)是數(shù)學(xué)，這兩個(gè)葉子是大多數(shù)的地方都是不重疊的，可是在根的地方有一小塊地方是重疊的，這一小塊地方不是很大的，只是占每一個(gè)領(lǐng)域的也許5％、10％這樣子，在這個(gè)重疊的地方，非常奇怪的，是這兩個(gè)領(lǐng)域，享有共同的觀點(diǎn)，所以它們?cè)诟瓷厦娴年P(guān)系是非常密切的，可是，我底下要講的，雖然物理與數(shù)學(xué)有如此密切的關(guān)系，可是二者共同的地方并不多，它們有各自的目的跟截然不同的價(jià)值觀，以及不同的傳統(tǒng)，在最基本觀念的層面，他們令人驚訝的共享某些觀念，但是即使在這個(gè)領(lǐng)域里頭，這兩個(gè)學(xué)科的生命力仍然按著各自的脈絡(luò)成長(zhǎng)，一個(gè)向這個(gè)方向走，一個(gè)向這個(gè)方向走。把這個(gè)落實(shí)到對(duì)于研究生的建議是什么呢？就是假如你是念物理的研究生，那么你必須要對(duì)于這個(gè)根源的這個(gè)地方有一些了解，可是，更重要的，除了你對(duì)于這個(gè)了解以外，你要了解到要向前途是什么方向發(fā)展，換句話說(shuō)，你要了解物理的價(jià)值觀，假如你不了解物理的價(jià)值觀，那么你很可能是走到另外一個(gè)方向去了，當(dāng)然走到另外一個(gè)方向，你在數(shù)學(xué)上做很大的貢獻(xiàn)也很好，不過(guò)這也許與你當(dāng)初想要做一個(gè)好的物理學(xué)家的初衷略微不一樣就是了。

關(guān)于數(shù)學(xué)跟物理之間的分別，愛(ài)因斯坦在他的晚年也有過(guò)很有意思的一個(gè)分析，他問(wèn)，因?yàn)樗囊簧墓ぷ鲗?duì)于物理跟數(shù)學(xué)后來(lái)都有極大的影響，那么，他在晚年的時(shí)候問(wèn)了他自己這樣一個(gè)問(wèn)題，說(shuō)為什么他做了一個(gè)物理學(xué)家，而不是做一個(gè)數(shù)學(xué)家，他說(shuō)"在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里頭，我的直覺(jué)不夠，不能辨認(rèn)哪些是真正重要的研究，哪些只是不重要的題目，在物理領(lǐng)域里頭，我很快學(xué)到怎樣找到基本的問(wèn)題來(lái)下工夫"，這幾句話對(duì)極了，因?yàn)樵谒?6歲的時(shí)候，在一個(gè)很不重要的瑞士伯爾尼的一個(gè)專利局里頭做一個(gè)小職員的時(shí)候，他寫(xiě)了三篇震驚世界的文章，這三篇每一篇都引導(dǎo)出來(lái)物理學(xué)里頭的一個(gè)革命，這就是代表他有一個(gè)直覺(jué)的觀念，知道物理里頭哪一個(gè)是最重要的問(wèn)題，哪個(gè)是瑣碎的、沒(méi)有什么大意義的問(wèn)題，而他的這個(gè)能力，能夠辨別到什么是重要的問(wèn)題，什么是不重要的問(wèn)題，在歷史上我想只有牛頓能夠跟他比。

讓我現(xiàn)在回到主題，"美與物理學(xué)"，物理學(xué)我剛才講了有三個(gè)領(lǐng)域，大的領(lǐng)域，（1）、（2）、（3），這三個(gè)領(lǐng)域，每一個(gè)領(lǐng)域有不同的美。先講在實(shí)驗(yàn)，比如說(shuō)是我們講虹跟霓，我想在座每一位，小時(shí)候看見(jiàn)了虹跟霓都會(huì)說(shuō)這是非常之美，等到你年紀(jì)稍微大了一點(diǎn)的話，你如果會(huì)做實(shí)驗(yàn)的話，那么你可以量那個(gè)虹是多少度，霓是多少度，你如果去量了以后，你就發(fā)現(xiàn)虹是42度，就是它這個(gè)角是42度，而霓是50度，而且你繼續(xù)觀測(cè)以后，你就知道紅在外、紫在內(nèi)，霓是反過(guò)來(lái)的，是紅在內(nèi)、紫在外，這些都是你觀測(cè)了以后了解到的，這個(gè)非常美妙的現(xiàn)象是實(shí)驗(yàn)的美。可是你進(jìn)步到了唯象理論以后，你就懂為什么會(huì)有虹和霓呢？是因?yàn)樘?yáng)光在水珠子里頭可以有一個(gè)全反射，一次全反射就出來(lái)虹，兩次全反射就出來(lái)霓，而且你經(jīng)過(guò)全反射這個(gè)計(jì)算可以算出來(lái)，一個(gè)是42度、一個(gè)是50度，這個(gè)是唯象理論的美，我想任何一個(gè)學(xué)生，第一次算出來(lái)這個(gè)42度和50度的時(shí)候，不可能沒(méi)有一個(gè)非常深的感受，覺(jué)得這真是妙不可言。可是這個(gè)還不夠，為什么要有全反射、為什么要有折射？這些要到理論架構(gòu)里頭，到了麥克斯韋方程出現(xiàn)以后，你就可以了解到，為什么緣故要有全反射，而且可以知道為什么在水里頭要有折射，這個(gè)把它的根源找出來(lái)，所以這個(gè)是更高層的美。

今天我們?nèi)绻次锢韺W(xué)的理論架構(gòu)，上邊有，里面有也許八九個(gè)、九十個(gè)方程式，其中剛才我給大家已經(jīng)介紹了狄拉克的方程式，我也給大家大概介紹了海森伯方程式、麥克斯韋的方程式、牛頓的方程式、愛(ài)因斯坦的方程式，這許多方程式里邊所描述的是宇宙的秘密，這些許多方程式，大可以討論到星云群里頭的現(xiàn)象，小可以討論到基本粒子里頭的內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，時(shí)間長(zhǎng)，可以討論到十億年，短，可以到十的負(fù)二十七次方秒，這樣子大的，這么多包羅萬(wàn)象的東西，它的解釋都建筑在這幾個(gè)支柱上邊，所以，而且他們都是非常濃縮的語(yǔ)言，所以我想了解了這些以后，你會(huì)同意我講這幾個(gè)基本的結(jié)構(gòu)是造物者的詩(shī)篇。說(shuō)它是詩(shī)不只是因?yàn)樗鼈兪欠浅Ｖ疂饪s的語(yǔ)言、濃縮的符號(hào)，還因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)涵，往往隨著物理學(xué)的發(fā)展而產(chǎn)生新的、當(dāng)初所完全沒(méi)有想到的意義，比如說(shuō)是愛(ài)因斯坦在1916年寫(xiě)出來(lái)他的"廣義相對(duì)論"的時(shí)候，他并沒(méi)有能夠完全了解到那個(gè)里邊的含義，而這個(gè)含義最近這三四十年，通過(guò)宇宙學(xué)的發(fā)展，比如說(shuō)是黑洞，這個(gè)里頭有非常深邃，現(xiàn)在還沒(méi)有能完全了解的一些新的內(nèi)涵，那么這個(gè)當(dāng)然跟詩(shī)一樣，你們大家都曉得你在10歲的時(shí)候所念的詩(shī)，到20歲時(shí)候再看，原來(lái)10歲時(shí)候沒(méi)有完全懂，你到30歲時(shí)候再看，你就了解到你20歲的時(shí)候也還沒(méi)有完全懂這個(gè)詩(shī)，詩(shī)有這個(gè)現(xiàn)象，而剛才我所講的這幾個(gè)基本結(jié)構(gòu)是也有這個(gè)現(xiàn)象的。所以我想如果要描述一個(gè)學(xué)物理的人或者是一個(gè)做物理工作的人，在了解到一個(gè)基本的結(jié)構(gòu)的時(shí)候是什么感受？最好用詩(shī)人的話來(lái)描述。200年以前威廉·布萊克曾經(jīng)說(shuō)"To see a World in a Grain of Sand，Anda Heaven in a Wild Flower， Hold Infinite in the palm of your hand AndEternity in an hour "，這個(gè)臺(tái)灣有一個(gè)散文家把它翻譯成一粒沙里有一個(gè)世界、一朵花里有一個(gè)天堂，把無(wú)窮無(wú)盡握于手掌，永恒寧非是剎那時(shí)光。

在牛頓過(guò)去的時(shí)候，一個(gè)大詩(shī)人蒲柏寫(xiě)了這樣兩句"Nature and nature'slaw lay hid in night：God said，let Newton be！And all was light。"，我把這個(gè)翻譯成"自然與自然規(guī)律為黑暗隱蔽，上帝說(shuō)讓牛頓來(lái)，一切遂真光明"，這些用詩(shī)人的語(yǔ)言來(lái)描述物理學(xué)的美，當(dāng)然是描寫(xiě)得很好，可是我覺(jué)得不夠，一個(gè)對(duì)于物理學(xué)的基本結(jié)構(gòu)了解，知道它們能夠?qū)τ谀敲炊嗟膹?fù)雜的現(xiàn)象給一個(gè)那么準(zhǔn)確的解釋的時(shí)候，還有一些美的感受，這個(gè)感受是詩(shī)人所沒(méi)有寫(xiě)出來(lái)的，是什么感受呢？是一個(gè)莊嚴(yán)感、是一個(gè)神圣感、是一個(gè)第一次看見(jiàn)宇宙的秘密的時(shí)候的畏懼感。那么我想這個(gè)所缺少的感，正是哥德式建筑的建筑師，他們?cè)谠O(shè)計(jì)哥德式這個(gè)建筑的時(shí)候，他們所要歌頌的，他們所要歌頌的是崇高美、靈魂美、宗教美、是最終極的美。

楊振寧中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)自述:我的學(xué)習(xí)與研究經(jīng)歷

楊振寧，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者，清華大學(xué)高等研究中心名譽(yù)主任，美籍華裔科學(xué)家。歷任普林斯頓高等研究所教授、紐約州立大學(xué)石溪分校理論物理研究所所長(zhǎng)。先后獲得中國(guó)科學(xué)院、美國(guó)國(guó)家科學(xué)院、臺(tái)灣中央研究院等院士榮銜。1922年出生于安徽合肥，1948年獲芝加哥大學(xué)博士學(xué)位。1957年，楊振寧與李政道因共同提出宇稱不守恒理論而獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，二人成為最早獲得諾貝爾獎(jiǎng)的華人。

精彩摘要：

與同學(xué)討論是深入學(xué)習(xí)的極好機(jī)會(huì)。多半同學(xué)都認(rèn)為，從討論得到的比老師那里學(xué)到的知識(shí)還要多，因?yàn)榕c同學(xué)辯論可以不斷追問(wèn)，深度不一樣。

一個(gè)人最好在研究開(kāi)始的時(shí)候，進(jìn)入一個(gè)新領(lǐng)域，就像挖金礦，挖新礦容易出成果，如果一個(gè)地方人家已經(jīng)挖了五年，要想再挖出新礦，就比較困難。

中國(guó)教育哲學(xué)講究“知之為知之，不知為不知，是知也”，知道的，不知道的，都要想清楚，這才是真正的學(xué)習(xí)。這種教育哲學(xué)，有很大好處，也有很大壞處。

一個(gè)社會(huì)要想科學(xué)非常成功，是不是必須制造一種風(fēng)氣，使年輕科學(xué)家都很沖，朝中國(guó)儒家君子相反的方向走？這是一個(gè)很深層次的問(wèn)題，值得大家注意。

楊振寧講座實(shí)錄：

少年讀到《神秘的宇宙》開(kāi)啟對(duì)物理的興趣

當(dāng)直覺(jué)與書(shū)本知識(shí)有沖突，是最好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，必須抓住，把本來(lái)的直覺(jué)錯(cuò)誤想清楚，形成新的直覺(jué)

我1929年到清華大學(xué)，當(dāng)時(shí)7歲，就讀清華大學(xué)里的成志小學(xué)（編者注：清華附小的前身），我父親是清華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。

4年后進(jìn)入北京城里的崇德中學(xué)，現(xiàn)在叫北京市第三十一中學(xué)，在宣武門(mén)附近。學(xué)校很小，差不多300個(gè)學(xué)生，有一個(gè)小圖書(shū)館，我喜歡到里面瀏覽書(shū)籍。初中二年級(jí)，我在圖書(shū)館發(fā)現(xiàn)一本翻譯過(guò)來(lái)的書(shū)，叫《神秘的宇宙》，描述1905年物理學(xué)大革命、1915年相對(duì)論和1925年量子力學(xué)，這不只是20世紀(jì)物理學(xué)的大革命，也可說(shuō)是人類知識(shí)歷史上非常重大的革命。我當(dāng)時(shí)并不太懂其中的內(nèi)容，不過(guò)產(chǎn)生了濃厚興趣，這與我后來(lái)學(xué)習(xí)物理有密切關(guān)系。

1937年夏天我剛剛讀完高一，抗戰(zhàn)就開(kāi)始，我們?nèi)野峄睾戏世霞摇：髞?lái)清華大學(xué)與北京大學(xué)、南開(kāi)大學(xué)合并，成立西南聯(lián)合大學(xué)，我父親到昆明就職，1938年春天，我們就到了昆明。當(dāng)時(shí)中學(xué)生流離失所的很多，教育部就規(guī)定不需要有中學(xué)畢業(yè)文憑也可以參加高考，我當(dāng)時(shí)高二，算便宜一年，參加高考就進(jìn)入了西南聯(lián)大。

高考考試科目中有物理學(xué)，我高中并沒(méi)有學(xué)習(xí)物理學(xué)，就借了一本標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)，關(guān)門(mén)念了一個(gè)月，原來(lái)我非常喜歡物理，覺(jué)得更合我的口味，所以就進(jìn)入西南聯(lián)大讀物理學(xué)，而我起初報(bào)考的是化學(xué)。

在大學(xué)，教科書(shū)說(shuō)圓周運(yùn)動(dòng)是向心的，與我的直覺(jué)不一樣。思考一兩天后，才了解到原來(lái)速度向量不單包含量，還有方向，把方向改變加在其中，圓周均勻加速就變成向心。這個(gè)教訓(xùn)非常重要，當(dāng)直覺(jué)與書(shū)本知識(shí)有沖突，是最好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，必須抓住，把本來(lái)的直覺(jué)錯(cuò)誤想清楚，形成新的直覺(jué)。這是真正懂得一門(mén)學(xué)問(wèn)的基本過(guò)程。

吳大猷、王竹溪兩位師長(zhǎng)引領(lǐng)進(jìn)入研究領(lǐng)域

與同學(xué)討論是深入學(xué)習(xí)的極好機(jī)會(huì)。多半同學(xué)都認(rèn)為，從討論得到的比老師那里學(xué)到的知識(shí)還要多，因?yàn)榕c同學(xué)辯論可以不斷追問(wèn)，深度不一樣

大學(xué)四年級(jí)需要寫(xiě)學(xué)士論文，我去找吳大猷先生（編者注：著名物理學(xué)家，被譽(yù)為中國(guó)物理學(xué)之父，2000年去世），他給我的研究題目是“對(duì)稱”，在物理學(xué)中用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述就叫“群論”。“群論”在20世紀(jì)被用到物理學(xué)，成為顯學(xué)。

吳大猷把我引到對(duì)稱與群論領(lǐng)域。我學(xué)到群論的美妙和在物理中的深入應(yīng)用，對(duì)后來(lái)工作有決定性影響，對(duì)稱理論是我一生的主要研究領(lǐng)域，占我研究工作的三分之二。

1942年我取得學(xué)士學(xué)位后，進(jìn)入清華大學(xué)研究院讀碩士，碩士論文導(dǎo)師是王竹溪（編者注：物理學(xué)家、教育家，曾任北京大學(xué)副校長(zhǎng)，1983年去世）。王先生的專長(zhǎng)是統(tǒng)計(jì)力學(xué)，屬于物理學(xué)一支。統(tǒng)計(jì)力學(xué)是我另外一個(gè)研究領(lǐng)域，占我一生工作的三分之一。

我在研究院的同班同學(xué)有黃昆（編者注：著名物理學(xué)家、中國(guó)固體和半導(dǎo)體物理學(xué)奠基人，2005年去世）和張守廉（編者注：著名電機(jī)工程專家，紐約州立大學(xué)石溪分校電機(jī)系主任）。我在黃昆70歲的時(shí)候?qū)戇^(guò)一篇文章，描述當(dāng)時(shí)我們無(wú)休止的辯論物理題目。記得有一次我們所爭(zhēng)論的是關(guān)于量子力學(xué)中“測(cè)量”的準(zhǔn)確意義，從喝茶開(kāi)始辯論，到晚上回到學(xué)校，關(guān)燈上床，辯論仍沒(méi)有停止。現(xiàn)在已經(jīng)記不清爭(zhēng)論的確切細(xì)節(jié)，也不記得誰(shuí)持什么觀點(diǎn)，但我清楚地記得三人（編者注：楊振寧、黃昆和張守廉）最后都從床上爬起來(lái)，點(diǎn)亮蠟燭，翻看海森堡的《量子論的物理原理》來(lái)調(diào)解辯論。

根據(jù)我讀書(shū)和教書(shū)得到的經(jīng)驗(yàn)，與同學(xué)討論是深入學(xué)習(xí)的極好機(jī)會(huì)。多半同學(xué)都認(rèn)為，從討論得到的比老師那里學(xué)到的知識(shí)還要多，因?yàn)榕c同學(xué)辯論可以不斷追問(wèn)，深度不一樣。

求學(xué)美國(guó)奔著敬重的諾獎(jiǎng)得主費(fèi)米選擇芝加哥大學(xué)

一個(gè)社會(huì)要想科學(xué)非常成功，是不是必須制造一種風(fēng)氣，使年輕科學(xué)家都很沖，朝中國(guó)儒家君子相反的方向走？這是一個(gè)很深層次的問(wèn)題，值得大家注意

1944年我研究生畢業(yè)，教了一年中學(xué)。1945年第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束，經(jīng)印度到美國(guó)，進(jìn)入芝加哥大學(xué)。當(dāng)時(shí)中國(guó)與美國(guó)之間不但沒(méi)有航班，也沒(méi)有輪船。美國(guó)當(dāng)時(shí)在亞洲有幾百萬(wàn)士兵，所以美國(guó)就造了一些5000噸左右的船，從印度把兵運(yùn)回美國(guó)，每個(gè)船中有一二百個(gè)艙位留給非美國(guó)軍人。我們20幾個(gè)公費(fèi)留美學(xué)生在印度等了兩個(gè)月，經(jīng)印度洋、紅海和地中海，最后到達(dá)美國(guó)紐約。到紐約后我請(qǐng)求進(jìn)入芝加哥大學(xué)。

我在西南聯(lián)大學(xué)的物理學(xué)已經(jīng)相當(dāng)高深，那時(shí)我最佩服3個(gè)20世紀(jì)重要的物理學(xué)家，一個(gè)是愛(ài)因斯坦（Einstein）；一個(gè)是狄拉克（Dirac），英國(guó)物理學(xué)家；第三個(gè)是恩芮科·費(fèi)米（Enrica Fermi），意大利出身，37歲時(shí)就獲得諾貝爾獎(jiǎng)。

費(fèi)米在芝加哥主持建立世界第一個(gè)原子反應(yīng)堆，他是第一流的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，也是第一流的理論物理學(xué)家。事實(shí)上，物理學(xué)家在19世紀(jì)以前是理論與實(shí)驗(yàn)都要做的，牛頓既研究理論又做實(shí)驗(yàn)，可到20世紀(jì)，理論與實(shí)驗(yàn)變得更復(fù)雜，很少有人能夠兩方面兼做。20世紀(jì)能夠在兩方面都做出第一流工作的物理學(xué)家就是費(fèi)米。

去美國(guó)的路上，我就想好跟著費(fèi)米做博士論文，而且要做實(shí)驗(yàn)論文。我在西南聯(lián)大物理學(xué)理論學(xué)得很好，實(shí)驗(yàn)卻根本沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，而物理學(xué)最后是要基于實(shí)驗(yàn)的，所以想跟費(fèi)米做實(shí)驗(yàn)方面的博士論文。

1946年初我到芝加哥大學(xué)，開(kāi)學(xué)后就上了費(fèi)米的課，很快熟起來(lái)。我提出跟著他做實(shí)驗(yàn)論文，他研究了一下說(shuō)不行，因?yàn)樗膶?shí)驗(yàn)不在芝加哥大學(xué)，而是在40公里以外的一個(gè)實(shí)驗(yàn)室，當(dāng)時(shí)是保密的，所以我就沒(méi)做他的研究生。

2001年是費(fèi)米誕辰一百年，我在慶祝會(huì)中做演講。我說(shuō)，費(fèi)米是20世紀(jì)所有偉大的物理學(xué)家中最受尊重和崇拜的人之一，他之所以受到尊敬和崇拜，是因?yàn)樗诶碚撐锢砗蛯?shí)驗(yàn)物理兩方面的貢獻(xiàn)，是因?yàn)樗I(lǐng)導(dǎo)下的工作為人類發(fā)現(xiàn)了強(qiáng)大的新能源，而更重要的是因?yàn)樗膫€(gè)性。他永遠(yuǎn)可靠和可信，永遠(yuǎn)腳踏實(shí)地，他的能力極強(qiáng)，卻不濫用，也不嘩眾取寵，也不小瞧別人，我一直認(rèn)為他是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的儒家君子。

一般來(lái)講，美國(guó)重要的科學(xué)家比較沖，同時(shí)，美國(guó)科學(xué)又是非常成功的。所以，這就出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，一個(gè)社會(huì)要想科學(xué)非常成功，是不是必須制造一種風(fēng)氣，使年輕科學(xué)家都很沖，朝中國(guó)儒家君子相反的方向走？這是一個(gè)很深層次的問(wèn)題，值得大家注意。

感受中西教學(xué)方法差異

中國(guó)教育哲學(xué)講究“知之為知之，不知為不知，是知也”，知道的，不知道的，都要想清楚，這才是真正的學(xué)習(xí)。這種教育哲學(xué)，有很大好處，也有很大壞處

在物理學(xué)習(xí)方法上，芝加哥大學(xué)與國(guó)內(nèi)有一個(gè)基本的區(qū)別，國(guó)內(nèi)是推演法，在書(shū)上學(xué)到一個(gè)理論，按定律推演到現(xiàn)象。芝加哥大學(xué)正好相反，不是從理論而是從新的現(xiàn)象開(kāi)始，老師和同學(xué)腦子里整天想的就是這些新現(xiàn)象，能不能歸納成一些理論。如果歸納出來(lái)的理論與既有理論吻合，那很好，就寫(xiě)一篇文章；如果與既有理論不符合，那更好，因?yàn)槟蔷痛砑扔欣碚摽赡懿粚?duì)，需要修改。

整個(gè)氣氛與國(guó)內(nèi)是不一樣的。我覺(jué)得自己非常幸運(yùn)，在中國(guó)使用推演法，打下一個(gè)非常扎實(shí)的根基；到美國(guó)，學(xué)會(huì)多注意新現(xiàn)象，由新現(xiàn)象歸納出理論。

中國(guó)教育哲學(xué)講究“知之為知之，不知為不知，是知也”，也就是說(shuō)你得知道自己所知道的，與不知道的東西分清楚，不能夠亂七八糟。有些東西你是知道的，有些東西你不知道，都要想得清清楚楚，這個(gè)才是真正的學(xué)習(xí)。這是中國(guó)傳統(tǒng)的教育哲學(xué)，很重要，有很大好處。 可是這種教育哲學(xué)也有很大壞處，事實(shí)上有許多知識(shí)不是這樣學(xué)來(lái)的，比如一個(gè)小孩學(xué)講話，并不是按部就班，甚至不知道自己已經(jīng)學(xué)會(huì)，他在一個(gè)不太清楚的時(shí)候，就弄出來(lái)。關(guān)于這一點(diǎn)，我給它起一個(gè)名字叫滲透性學(xué)法，滲透性學(xué)法是中國(guó)傳統(tǒng)不喜歡的。

事實(shí)上，很多東西第一次聽(tīng)不懂，第二次再聽(tīng)，還是不懂，可是就比第一次多懂了一點(diǎn)，等聽(tīng)到很多次以后，就忽然一下子了解，這是非常重要的學(xué)習(xí)方法，也可以說(shuō)是中國(guó)傳統(tǒng)教育哲學(xué)與西方教育哲學(xué)一個(gè)很大區(qū)別。我上學(xué)時(shí)就覺(jué)得西方學(xué)生沒(méi)有把東西想清楚的習(xí)慣，可這并不阻止他們做出非常重要的工作，尤其是非常聰明的年輕人，用滲透方法吸取知識(shí)的能力很強(qiáng)。

芝加哥大學(xué)當(dāng)時(shí)是非常成功的，研究氣氛濃厚，有很多討論會(huì)，多注重新現(xiàn)象，新方法，少注重書(shū)本上的知識(shí)。1948-1950年在芝加哥大學(xué)獲得博士學(xué)位的畢業(yè)生中，有4位獲得諾貝爾獎(jiǎng)，這與當(dāng)時(shí)濃厚的學(xué)習(xí)氣氛密切相關(guān)。

1971年我到中國(guó)參觀訪問(wèn)，中國(guó)大學(xué)的課程是非常之深，有所謂“四大力學(xué)”（編者注：傳統(tǒng)的《理論力學(xué)》、《電動(dòng)力學(xué)》、《量子力學(xué)》和《熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理》組成），每一名物理系學(xué)生都要花很長(zhǎng)的時(shí)間去學(xué)這四門(mén)理論課。四大力學(xué)當(dāng)然重要，沒(méi)人能否認(rèn)它們是物理學(xué)的骨干，不過(guò)物理學(xué)不只是骨干，只有骨干的物理學(xué)是一個(gè)骷髏，有骨頭又有血肉的物理學(xué)，才是活的物理學(xué)。

研究方向在“希望破滅”中清晰

一個(gè)人最好在研究開(kāi)始的時(shí)候，進(jìn)入一個(gè)新領(lǐng)域，到一個(gè)舊領(lǐng)域當(dāng)然也可以，可是就像挖金礦一樣，挖新礦容易出成果，如果一個(gè)地方人家已經(jīng)挖了五年，要想再挖出新礦，就比較困難

1946年上半年，經(jīng)過(guò)費(fèi)米推薦，我成為泰勒（E·Teller，編者注：出生于匈牙利的美國(guó)理論物理學(xué)家，被譽(yù)為“氫彈之父”，2003年去世）的研究生。泰勒給我一個(gè)研究題目，幾個(gè)星期以后，我給他看計(jì)算結(jié)果，泰勒覺(jué)得很好，還安排我做一個(gè)報(bào)告，大家的反應(yīng)都非常好。泰勒說(shuō)可以把它寫(xiě)成一篇文章，可我覺(jué)得還不夠好，總沒(méi)寫(xiě)出來(lái)。

1946年秋天費(fèi)米介紹我跟著艾里遜（Allison）教授做核物理實(shí)驗(yàn)。我在實(shí)驗(yàn)室做了差不多20個(gè)月的研究工作。1947年我曾經(jīng)寫(xiě)信給黃昆，他那時(shí)候在英國(guó)讀研究生，我的信中用了“希望破滅”。因?yàn)槲以诎镞d實(shí)驗(yàn)室做得不成功，不成功的主要原因是我這人天生不是做實(shí)驗(yàn)物理的，動(dòng)手不行，常常在實(shí)驗(yàn)闖禍，沒(méi)有這方面的天分。

回想起來(lái)，那一年我自己找了四個(gè)理論題目，第一個(gè)是昂薩格（Onsager，編者注：美國(guó)物理化學(xué)家，1976年去世）關(guān)于伊辛模型（Ising Model）的文章，這是當(dāng)時(shí)有名的統(tǒng)計(jì)力學(xué)題目。第二個(gè)是布洛赫（Felix Bloch，編者注：瑞士物理學(xué)家，1952年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者）關(guān)于自旋波（Spin Wave）的文章，也是有名的統(tǒng)計(jì)力學(xué)題目。第三個(gè)題目是規(guī)范不變。

這是我自己想出來(lái)的發(fā)展方向，但弄了幾個(gè)禮拜無(wú)果而終。研究中找題目感到沮喪，是極普遍的現(xiàn)象，所有研究生差不多都有過(guò)一些沮喪。不過(guò)大家不要因?yàn)榫趩示陀X(jué)得沒(méi)有希望，不是你一個(gè)人，所有研究生都有這個(gè)問(wèn)題。

前三個(gè)題目做來(lái)做去都沒(méi)有結(jié)果，第四個(gè)題目是核反應(yīng)中的角分布問(wèn)題。這一問(wèn)題與對(duì)稱有密切關(guān)系，我就想到從吳大猷先生那學(xué)來(lái)的群論分析“物理規(guī)律旋轉(zhuǎn)不變”的意義。1948年我得到結(jié)果就寫(xiě)了一篇很短的文章，泰勒很喜歡，主動(dòng)來(lái)找我，他說(shuō)文章很好，為什么不把它稍微變長(zhǎng)一點(diǎn)，增加一點(diǎn)材料，可以接受這篇文章做我的博士論文。我決定接受泰勒建議的時(shí)候，如釋重負(fù)。

我在芝加哥大學(xué)的兩年半時(shí)間，自己找了四個(gè)題目，只有第四個(gè)有所發(fā)展，前三個(gè)費(fèi)很大勁，沒(méi)有結(jié)果。第四個(gè)題目是關(guān)于群論的，走到這個(gè)領(lǐng)域我非常興奮，因?yàn)槟菚r(shí)很少人對(duì)把“對(duì)稱”用在核物理中感興趣，我走進(jìn)去了，所以很快占領(lǐng)一個(gè)新的領(lǐng)域。

我因此得出一個(gè)很重要的結(jié)論：一個(gè)人最好在研究開(kāi)始的時(shí)候，進(jìn)入一個(gè)新領(lǐng)域，到一個(gè)舊領(lǐng)域當(dāng)然也可以，可是就像挖金礦一樣，挖新礦容易出成果，如果一個(gè)地方人家已經(jīng)挖了五年，要想再挖出新礦，就比較困難。

我在芝加哥大學(xué)還有一個(gè)非常重要的經(jīng)歷，就是與鄧稼先的交往。鄧稼先是我的中學(xué)同學(xué)，比我低兩班，后來(lái)在西南聯(lián)大，他也是物理系，因?yàn)槲姨艘患?jí)，所以他比我低了三班。我到美國(guó)后，沒(méi)過(guò)幾年他也來(lái)普渡大學(xué)讀書(shū)。1949年夏天他從普渡大學(xué)到芝加哥，我與他、還有我弟弟租了一個(gè)公寓，住在一起。他第二年取得博士學(xué)位后回國(guó)，50年代帶領(lǐng)28個(gè)剛剛獲得學(xué)士學(xué)位的物理系年輕學(xué)生研究制造原子彈，對(duì)中國(guó)原子彈和氫彈發(fā)展作出絕對(duì)性貢獻(xiàn)，成為“兩彈元?jiǎng)住薄?

為愛(ài)留在普林斯頓 開(kāi)始學(xué)術(shù)最有成果的17年

我認(rèn)為所有研究工作多多少少要經(jīng)過(guò)三步曲：興趣--準(zhǔn)備工作--新的突破點(diǎn)

1948年我在芝加哥大學(xué)獲博士學(xué)位，留校教書(shū)。1949年就去了普林斯頓大學(xué)，當(dāng)時(shí)最紅的理論物理題目是“重整化”，在普林斯頓有很多人做這方面的研究，所以我要去普林斯頓。 本來(lái)想在普林斯頓呆一年就回芝加哥大學(xué)，但在普林斯頓碰見(jiàn)了我以前高中教過(guò)的學(xué)生（編者注：楊振寧在國(guó)立西南聯(lián)合大學(xué)附屬中學(xué)任數(shù)學(xué)老師），叫杜致禮（編者注：1927年出生，其父杜聿明，系國(guó)民黨高級(jí)將領(lǐng)），她當(dāng)時(shí)在衛(wèi)斯里學(xué)院，我們偶然看見(jiàn)就交了朋友（編者注：1949年圣誕節(jié)，兩人在普林斯頓中餐館“茶園餐廳”邂逅），倆人戀愛(ài)了。那時(shí)在戀愛(ài)，覺(jué)得不應(yīng)該回到芝加哥，所以就留下來(lái)，一呆就是17年。

普林斯頓的研究所不大，沒(méi)有學(xué)生，大概有20個(gè)教授，四五個(gè)研究領(lǐng)域，一二百個(gè)博士后和訪問(wèn)學(xué)者，是一個(gè)純研究性的象牙之塔，非常成功。

我到研究所的時(shí)候，那里大師云集。愛(ài)因斯坦剛剛退休，我們年輕人沒(méi)有人去騷擾，都很尊敬他。有一天我?guī)е髢鹤釉诼飞峡匆?jiàn)他，就照了一張照片，我自己從來(lái)沒(méi)有與愛(ài)因斯坦合過(guò)照。

在研究所是完全放任的政策，每個(gè)人的消息都很靈通，自己找自己的合作者，這種方式到現(xiàn)在已經(jīng)維持了七八十年，非常成功。我在研究所的主要興趣是核物理。

1949年11月初的一天，在往返于普林斯頓大學(xué)與研究所之間的街車上，Luttinger（編者注：研究所的一名博士后）偶爾和我談及伊辛模型，Luttinger說(shuō)，考夫曼（Bruria_Kaufman，編者注：女物理學(xué)家，昂薩格的學(xué)生）已經(jīng)把昂薩格的方法簡(jiǎn)化，因而可以通過(guò)2n個(gè)一系列“反厄米特矩陣”搞清楚。我對(duì)這種表象了解得很多，所以很快就理解了“昂薩格-考夫曼”方法。一回到研究所，我就擱置原來(lái)的工作，根據(jù)我在1947年關(guān)于這一問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，再加上新的元素和觀念，一兩個(gè)小時(shí)后就完全弄明白，推導(dǎo)出“昂薩格-考夫曼”解法的基本步驟。

我覺(jué)得昂薩格還沒(méi)有做完，于是就繼續(xù)算下去，并得到最終公式。這份成果發(fā)表后，物理學(xué)界很多人非常注意我，可以說(shuō)這是第一次。因?yàn)槲野岩粋€(gè)很復(fù)雜的計(jì)算變成很簡(jiǎn)單的公式，在芝加哥大學(xué)自己找的第一個(gè)題目開(kāi)花結(jié)果。

此次研究的經(jīng)驗(yàn)是什么呢？研究是一個(gè)三步曲：第一步是興趣，我跟從王竹溪先生學(xué)習(xí)，使我對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)發(fā)生興趣；在芝加哥大學(xué)的時(shí)候去研究這個(gè)問(wèn)題，可以說(shuō)是準(zhǔn)備工作，準(zhǔn)備工作不成功，也不稀奇，通常的研究都要經(jīng)過(guò)不成功的準(zhǔn)備工作；到最后突然出現(xiàn)一個(gè)新突破點(diǎn)，比如有了新的看法，與準(zhǔn)備工作結(jié)合在一起，就開(kāi)花結(jié)果。我認(rèn)為所有研究工作多多少少要經(jīng)過(guò)這三步。

我在芝加哥大學(xué)感興趣的另一個(gè)題目是“規(guī)范不變”。1953到1954年我到布魯克海文國(guó)家實(shí)驗(yàn)室(Brookhaven National Laboratory)訪問(wèn)，同辦公室一位年輕人米爾斯(Robert Mills)談話，很自然講起來(lái)我對(duì)“規(guī)范不變”的不成功研究，我們討論兩天以后，決定再加兩項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果越算越簡(jiǎn)單。我們知道挖到寶藏了！

我把運(yùn)算結(jié)果寫(xiě)成一篇文章寄給《物理評(píng)論》（Physical Review），變成我一生中最重要的工作，因?yàn)樗央姶艑W(xué)結(jié)構(gòu)很美妙的進(jìn)行了推廣。電磁學(xué)結(jié)構(gòu)是物理的一個(gè)中心，今天所有手機(jī)、電視、無(wú)線電都要用這個(gè)方程式。1954年文章發(fā)表后，并沒(méi)有被大家注意，后來(lái)學(xué)者引進(jìn)“對(duì)稱破缺”觀點(diǎn)，才大大發(fā)展了這一問(wèn)題，成為標(biāo)準(zhǔn)模型。

通過(guò)這件事我又得到一個(gè)教訓(xùn)，物理學(xué)中的難題往往不能一舉完全解決，如果把其中一部分解決，很可能為最后解決辦法提供重要的中間一環(huán)。另外，與別人討論往往是十分有用的研究方法。

1955到1956年我轉(zhuǎn)而研究另外一個(gè)問(wèn)題，θ與τ。θ是當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的衰變成2個(gè)π的粒子，τ是另外一個(gè)粒子，衰變成3個(gè)π。一方面發(fā)現(xiàn)θ跟τ有同樣的質(zhì)量、壽命，而通常2個(gè)不同粒子的質(zhì)量比差很多，幾倍、幾十倍甚至幾千倍。所以這兩個(gè)粒子可能根本就是一個(gè)粒子，粒子有時(shí)候變成2個(gè)π，有時(shí)候變成3個(gè)π，同一東西變成兩種不同的是常有現(xiàn)象。可是，另外一方面，存在宇稱守恒定律，θ與τ不可能是同一個(gè)離子，因?yàn)楦鶕?jù)此定律，2個(gè)π的“宇稱”是+1，而3個(gè)π的“宇稱”是-1，如果θ與τ是同一粒子，那么它既能衰變成+1的宇稱，又能衰變成-1的宇稱，宇稱就不守恒了，違反了基本原理。當(dāng)時(shí)就分成兩派，一派說(shuō)θ與τ是一回事，一派說(shuō)θ與τ絕對(duì)不可能是一回事，當(dāng)時(shí)很多文章要想解決這個(gè)問(wèn)題，理論與實(shí)驗(yàn)都沒(méi)有能夠成功。

1956年夏天我和李政道合作，檢查宇稱是不是真正守恒，做了3個(gè)星期的多種計(jì)算后，我們很驚訝地發(fā)現(xiàn)，所有過(guò)去的β衰變?cè)囼?yàn)中并沒(méi)有任何宇稱絕對(duì)守恒的根據(jù)。好幾百個(gè)β衰變?cè)囼?yàn)一致認(rèn)為證明了宇稱守恒，但這些結(jié)論都是不對(duì)的，我們從而提出怎么樣做實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驕y(cè)定β衰變中宇稱不守恒。這些實(shí)驗(yàn)比以前實(shí)驗(yàn)要稍微復(fù)雜一點(diǎn)，提出來(lái)以后學(xué)生都不肯做，第一，這些實(shí)驗(yàn)都不簡(jiǎn)單，他們說(shuō)不值得去做；第二，沒(méi)有人相信宇稱是不守恒的。

只有吳健雄（編者注：美籍華裔女物理學(xué)家，有“東方居里夫人”之稱，1997年去世）愿意去做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，她認(rèn)為這是一個(gè)基本的現(xiàn)象，既然還沒(méi)有實(shí)驗(yàn)證明，那就應(yīng)該去研究。吳健雄與其他專家合作，在華盛頓做了半年實(shí)驗(yàn)，得出結(jié)論在β衰變中宇稱是不守恒的。結(jié)論出來(lái)以后震驚了整個(gè)物理學(xué)界。后來(lái)更多實(shí)驗(yàn)證明，不止是β衰變，在所有的相互作用中宇稱都是不守恒的，也就是說(shuō)左右不完全對(duì)稱。

1997年吳健雄去世，我曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)這么一段話，“吳健雄的工作以精準(zhǔn)著稱于世，但是她的成功還有更重要的原因：1956年大家不肯做測(cè)試宇稱守恒的實(shí)驗(yàn)，為什么她肯去做此困難的工作呢？因?yàn)樗?dú)具慧眼，認(rèn)為宇稱守恒即使不被推翻，此一基本定律也應(yīng)被測(cè)試。這是她過(guò)人之處。”吳健雄自己曾說(shuō)，永遠(yuǎn)不要把所謂不言自明的定律視為必然。

1949年到1966年是我一生研究工作最有成果的17年。1966年我離開(kāi)普林斯頓，離開(kāi)這樣一個(gè)象牙之塔是極不容易的決定，后來(lái)常常有人問(wèn)我，后不后悔離開(kāi)，我后來(lái)說(shuō)紐約州立大學(xué)石溪分校是新創(chuàng)建的大學(xué)，幫助一所新的大學(xué)變成一個(gè)好的研究性大學(xué)是一件很有意義事情，可以說(shuō)這是我的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折。

我剛才講了這么多，基本上就是把我過(guò)去的研究經(jīng)歷歸納一下，得出一些結(jié)論，也許這些結(jié)論對(duì)在座的年輕人會(huì)有些用處，謝謝。

中科大授予諾貝爾獎(jiǎng)得主特霍夫特名譽(yù)博士學(xué)位

人民網(wǎng) 　 04-07-28 08:28

　　人民網(wǎng)合肥7月27日電 記者何聰報(bào)道：7月27日下午，特霍夫特（G't Hooft）教授名譽(yù)博士授予儀式暨學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)在科大東區(qū)師生活動(dòng)中心隆重舉行。校領(lǐng)導(dǎo)朱清時(shí)、許武、李定出席儀式，理學(xué)院、研究生院等有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)以及300多名師生參加了授予儀式和學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)。儀式由副校長(zhǎng)侯建國(guó)院士主持。校長(zhǎng)朱清時(shí)院士向特霍夫特頒發(fā)了名譽(yù)博士學(xué)位證書(shū)并發(fā)表了熱情洋溢的講話。這是繼第三世界科學(xué)院院士、已故巴基斯坦物理學(xué)家、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者薩拉姆教授和美籍華裔物理學(xué)家、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主丁肇中教授之后，中國(guó)科大授予的第三個(gè)名譽(yù)博士學(xué)位。

　　朱清時(shí)校長(zhǎng)在致辭中高度評(píng)價(jià)了特霍夫特教授對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)發(fā)展的杰出貢獻(xiàn)。他說(shuō)，特霍夫特教授在Yang-Mills規(guī)范場(chǎng)理論的工作為基本粒子的理論依據(jù)（標(biāo)準(zhǔn)模型）奠定了基礎(chǔ)。“標(biāo)準(zhǔn)模型”被認(rèn)為是科學(xué)史上堪與牛頓的引力理論媲美的瑰寶。值得注意的是，特霍夫特教授幾乎所有工作都是在他的母國(guó)荷蘭做出來(lái)的，Yang-Mills規(guī)范理論的工作是他在荷蘭讀研究生時(shí)做出來(lái)的。荷蘭在歐洲屬中等國(guó)家，在特霍夫特教授等的努力，該國(guó)對(duì)自然科學(xué)的貢獻(xiàn)，得到世界科學(xué)界的高度尊重。特霍夫特教授致力于科學(xué)研究、奉獻(xiàn)母國(guó)的精神對(duì)中國(guó)科學(xué)家是極大的鼓勵(lì)，是我們學(xué)習(xí)的典范。中國(guó)科大一貫致力于基礎(chǔ)研究，努力在國(guó)際前沿的一些重要領(lǐng)域有一席之地，已在量子通訊、納米科學(xué)等領(lǐng)域取得了一些重要成果。我校授予特霍夫特教授名譽(yù)博士學(xué)位是一件十分有意義的事件，特霍夫特教授的來(lái)訪并和我校同行的交流對(duì)于我們發(fā)展、壯大相關(guān)學(xué)科有很大幫助。

　　特霍夫特教授在儀式上講話。他說(shuō)，非常榮幸來(lái)到中國(guó)，特別是楊振寧先生的故鄉(xiāng)，楊振寧先生的工作對(duì)我的影響很大，如果沒(méi)有楊振寧先生就沒(méi)有“標(biāo)準(zhǔn)模型”。非常感謝中國(guó)科技大學(xué)對(duì)我的厚愛(ài)，接受中國(guó)科技大學(xué)授予的名譽(yù)博士學(xué)位并在科大做學(xué)術(shù)報(bào)告，對(duì)我來(lái)說(shuō)，是極高的榮譽(yù)。

　　特霍夫特教授1946年7月出生，現(xiàn)任荷蘭Utrecht大學(xué)終身教授，著名物理學(xué)家。他對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展，特別是對(duì)于量子非阿貝爾規(guī)范理論的重整化的證明做出了杰出的貢獻(xiàn)，他的工作為基本粒子的理論基礎(chǔ)——粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型——奠定了基礎(chǔ)。他因此和導(dǎo)師M.Veltman榮獲1999年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

　　此外，特霍夫特教授在非微擾場(chǎng)論和量子引力等方面也做了許多突破性的工作。他關(guān)于量子引力理論中的全息性原理被同行認(rèn)為是一個(gè)新的革命性的思想，近年來(lái)成為弦理論和黑洞物理的中心課題之一。

　　近年來(lái)，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的同行專家在特霍夫特教授所開(kāi)創(chuàng)的領(lǐng)域里開(kāi)展了一些列深入研究，并與特霍夫特教授保持了較為密切的學(xué)術(shù)交流。為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)術(shù)交流，促進(jìn)科學(xué)研究事業(yè)的深入發(fā)展，依據(jù)《國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)關(guān)于授予國(guó)外有關(guān)人士名譽(yù)博士學(xué)位暫行規(guī)定》，著名物理學(xué)家楊振寧教授、谷超豪院士、趙光達(dá)院士、朱清時(shí)院士、侯建國(guó)院士等一致寫(xiě)信推薦授予特霍夫特教授中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位，經(jīng)中國(guó)科技大學(xué)學(xué)位委員會(huì)全體會(huì)議審議，國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)通訊投票通過(guò)，決定授予特霍夫特教授中國(guó)科技大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位。

　　受聘儀式結(jié)束后，特霍夫特教授作了題為《探索自然規(guī)律的基本原理：我們從黑洞理論中能學(xué)到什么？》的學(xué)術(shù)報(bào)告，并與師生進(jìn)行了交流。

　　受聘儀式前，朱清時(shí)、許武、侯建國(guó)、李定會(huì)見(jiàn)了特霍夫特教授。在校期間，特霍夫特教授還與理學(xué)院吳泳時(shí)、閻沐霖、胡森教授就黑洞物理理論問(wèn)題進(jìn)行了深入的學(xué)術(shù)討論和交流，并參觀了科大校園和相關(guān)實(shí)驗(yàn)室。

2009-09-26 18:55 徐一鴻當(dāng)年沒(méi)有計(jì)算Yang-Mills場(chǎng), 是他心中永遠(yuǎn)的痛

從轉(zhuǎn)動(dòng)和空間反射這些可以感覺(jué)到的對(duì)稱性開(kāi)始，物理學(xué)家表述越來(lái)越多的對(duì)稱性，到時(shí)間反演對(duì)稱性，甚至我們感覺(jué)不到的規(guī)范對(duì)稱性。但是幾本的概念和動(dòng)機(jī)始終是沒(méi)有變的，基礎(chǔ)物理學(xué)家們始終堅(jiān)信：上帝設(shè)計(jì)設(shè)個(gè)世界的時(shí)候是以對(duì)稱性為基礎(chǔ)的。是這樣的嗎？你問(wèn)我？我不知道，但是我可以告訴你的是，我能夠感覺(jué)到是這樣的，因?yàn)檫@樣是美的，盡管我解釋不了為什么對(duì)稱就是美。

Einstein畢生精力都用在同一場(chǎng)論上，而對(duì)稱性和重正化是場(chǎng)論的兩個(gè)基本原則，可以說(shuō)不能重正化的場(chǎng)論都不是最后的選擇，這讓我想起了2004年的Nobel Prize，David J. Gross, H. David Politzer, Frank Wilczek由于他們發(fā)現(xiàn)了強(qiáng)相互作用里面的漸進(jìn)自由而得到炸彈獎(jiǎng)，這是一個(gè)十分重要的工作，可以說(shuō)是挽救了場(chǎng)論，

說(shuō)到這里，不得不提到一個(gè)華人，名字叫Anthony Zee，中文名叫徐一鴻，UCSB的Kavli Insititute of Theoretical Physics的終生教授，1972年也就是上面三個(gè)人發(fā)表他們的得炸彈獎(jiǎng)的論文時(shí)，他們文章是7月份發(fā)表的，A.Zee在5月份發(fā)表了一篇文章，里面他計(jì)算了除了Yang-Mills場(chǎng)以外的所有場(chǎng)的重正化都計(jì)算過(guò)了，沒(méi)有得到漸進(jìn)自由，也就是說(shuō)隨著能量越來(lái)越高，耦合強(qiáng)度越來(lái)越高，而漸進(jìn)自由是指著時(shí)候耦合強(qiáng)度越來(lái)越小，趨近于零，A.Zee在文中非常sad的說(shuō)到場(chǎng)論沒(méi)有漸進(jìn)自由，但是很不幸，那三個(gè)人計(jì)算了非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的重正化得到了漸進(jìn)自由，記得我們當(dāng)年上場(chǎng)論課的時(shí)候，當(dāng)時(shí)青哥告訴我們叫我們?nèi)?wèn)問(wèn)A.Zee為什么當(dāng)年沒(méi)有計(jì)算Yang-Mills場(chǎng)，估計(jì)這是他心中永遠(yuǎn)的痛：）

當(dāng)時(shí)A.Zee剛好博士畢業(yè)兩年，剛剛拿到洛克菲勒大學(xué)的教職，而且剛剛結(jié)了婚，計(jì)算了完了那篇文章，他正準(zhǔn)備計(jì)算Yang-Mills場(chǎng)，他發(fā)現(xiàn)“在1972-1973年的那個(gè)冬天，如聞驚雷一樣，我聽(tīng)到令人過(guò)電的消息”（他自己寫(xiě)道）那幾個(gè)人找到了那個(gè)盼望已久的“自由”。我猜他當(dāng)時(shí)的心情肯定不好受，雖然Yang-Mills場(chǎng)的重正化不好弄，但是至少他那時(shí)候已經(jīng)哈佛大學(xué)理論物理博士畢業(yè)，日子肯定比H. David Politzer和Frank Wilczek好過(guò)， 他們兩個(gè)還為了讓別人肯定他們的工作而到處奔波。

場(chǎng)論方面數(shù)一數(shù)二的牛人

A.Zee也屬于場(chǎng)論方面數(shù)一數(shù)二的牛人，當(dāng)初在Princeton當(dāng)教授時(shí)Witten當(dāng)他助教，據(jù)說(shuō)他當(dāng)時(shí)計(jì)算了除非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)以外的所有“貝塔"函數(shù)，如果當(dāng)初再多算一個(gè)就發(fā)現(xiàn)QCD漸進(jìn)自由了，那諾獎(jiǎng)就沒(méi)Gross他們什么事兒了，真是生不逢時(shí)啊。

徐一鴻講演,http://www.youtube.com/

2004年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng): 最郁悶的兩個(gè)人

　　每年的諾貝爾獲獎(jiǎng)名單公布以后，獲獎(jiǎng)?wù)弋?dāng)然高興得不得了，但是也一定有人因?yàn)殄e(cuò)過(guò)了發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)而扼腕長(zhǎng)嘆、頓足仰天。

　　2004年也不例外。我所知道的就有兩位物理學(xué)家悔得腸子發(fā)青。一位是特霍夫特，一位是華裔美國(guó)物理學(xué)家徐一鴻。徐一鴻在1972年春天就想到了“漸近自由”，但是這種想法在那時(shí)是太出格了，他自己都認(rèn)為他的想法荒誕到好像是在說(shuō)：“如果他的伯母是一個(gè)男人的話，她會(huì)怎么樣呢？” 因此他沒(méi)有敢再往下想。

　　最可惜的是荷蘭物理學(xué)家特霍夫特。在1972年春天馬賽一次會(huì)議上，他對(duì)德國(guó)物理學(xué)家西曼尼說(shuō)，他可以證明“漸近自由”符合現(xiàn)有的理論；西曼克覺(jué)得難以置信說(shuō)：“倘若你是對(duì)的，那么你應(yīng)該馬上發(fā)表這一結(jié)果，因?yàn)檫@會(huì)十分重要！”可惜特霍夫特當(dāng)時(shí)忙于進(jìn)行另外一個(gè)還沒(méi)有結(jié)束的研究，沒(méi)有聽(tīng)從西曼尼的建議。到1973年格羅斯、維爾切克和波利策發(fā)表他們的發(fā)現(xiàn)以后，特霍夫特真是后悔得想自己把自己狠狠揍一頓！

“知之為知之，不知為不知，是知也”的傳統(tǒng)教育哲學(xué)有其合理之處，但并不適用于每個(gè)時(shí)代。事實(shí)上，很多知識(shí)不是按部就班，而是在不斷地實(shí)踐和失敗中，不知不覺(jué)學(xué)會(huì)的。我更愿意稱這種方法為“滲透”型學(xué)法，這是中國(guó)傳統(tǒng)教育不喜歡的，卻是非常必要的。

■本報(bào)記者 陳彬

“知之為知之，不知為不知，是知也。”這句出自《論語(yǔ)》中的經(jīng)典論述，千百年來(lái)一直是中國(guó)傳統(tǒng)教育理論中對(duì)于學(xué)習(xí)態(tài)度的經(jīng)典論述。但在4月17日，中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)舉辦的名家論壇上，著名物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者楊振寧對(duì)此卻提出了反思。

見(jiàn)解不對(duì)不要緊

當(dāng)天，楊振寧以《我的學(xué)習(xí)與研究經(jīng)歷》為題，向到場(chǎng)師生講述了他幾十年的求學(xué)與研究生涯。在演講中，楊振寧提到，1946年初他進(jìn)入芝加哥大學(xué)，成為該校物理系的博士生。而在芝加哥大學(xué)的經(jīng)歷讓他對(duì)中西方的教育產(chǎn)生了反思。

“芝加哥大學(xué)匯集了一大批杰出的學(xué)者，其中我接觸比較多的便是愛(ài)德華·特勒教授。”楊振寧說(shuō)，特勒后因發(fā)現(xiàn)氫彈的制造原理被稱為”氫彈之父”。而在他看來(lái)，特勒在研究物理學(xué)時(shí)，有一個(gè)特點(diǎn)，那就是他有許多直覺(jué)的見(jiàn)解。“這些見(jiàn)解不一定都是對(duì)的，甚至恐怕90％是錯(cuò)的。不過(guò)每次和別人交談時(shí)，他從不怕他講的見(jiàn)解可能是錯(cuò)的，這給了我很深的印象。”

楊振寧表示，中國(guó)傳統(tǒng)教育觀念中，“知之為知之，不知為不知，是知也”的表述，要求學(xué)習(xí)者在發(fā)表言論之前，必須明確區(qū)分知道的事情和不知道的事情，要想得清清楚楚，這才是真正學(xué)習(xí)。這種傳統(tǒng)教育哲學(xué)有其合理之處，但并不適用于每個(gè)時(shí)代。“事實(shí)上，很多知識(shí)不是這么學(xué)的。比如幼兒學(xué)習(xí)說(shuō)話，這一過(guò)程就不是按部就班，而是在不斷地實(shí)踐和失敗中，不知不覺(jué)學(xué)會(huì)的。我更愿意稱這種方法為‘滲透’型學(xué)法，這是中國(guó)傳統(tǒng)教育不喜歡的，卻是非常必要的。”

楊振寧強(qiáng)調(diào)，即使是在當(dāng)今，中西傳統(tǒng)教育觀念對(duì)教學(xué)的影響依然明顯。“西方教育從不教學(xué)生‘知之為知之’，而是允許學(xué)生在‘亂七八糟’的胡思亂想中學(xué)會(huì)知識(shí)。和我共事的西方學(xué)者有一個(gè)共同特點(diǎn)，他們?cè)谟懻摰臅r(shí)候沒(méi)有把問(wèn)題想得很清楚的習(xí)慣，但這沒(méi)有阻止他們做出非常重要的工作。這一現(xiàn)象值得反思。”

要有骨頭，還要有血肉

在赴芝加哥大學(xué)求學(xué)之前，楊振寧在西南聯(lián)合大學(xué)學(xué)習(xí)，比較芝加哥大學(xué)與西南聯(lián)大的不同時(shí)，楊振寧說(shuō)，在西南聯(lián)大求學(xué)時(shí)，他所采用的學(xué)習(xí)方法主要是推演法：即由理論原理推演到物理現(xiàn)象。而在芝加哥大學(xué)則正好相反：從新的現(xiàn)象開(kāi)始，通過(guò)對(duì)現(xiàn)象的描述歸納理論。

“如果和既有理論相符合，固然很好；如果不符合，就代表著固有理論存在錯(cuò)誤，需要修改。這更是一件‘好事’。”楊振寧說(shuō)，漸漸地，他了解到了這種方法的好處：歸納法的起點(diǎn)是物理現(xiàn)象。從這個(gè)方向出現(xiàn)，不易陷入形式化的泥坑。

回想起在芝加哥大學(xué)的求學(xué)經(jīng)歷，楊振寧坦言自己學(xué)到的不僅有一般書(shū)本上的知識(shí)，尤其重要的是方法與方向。通過(guò)當(dāng)時(shí)芝加哥大學(xué)研究的氣氛，他接觸到最可能有發(fā)展的研究方向。“我常常想，我是很幸運(yùn)的。在聯(lián)大我有了一個(gè)扎實(shí)的根基，學(xué)了推演法。到了芝加哥受到新的啟發(fā)，學(xué)了歸納法。掌握了一些新的研究方向。兩個(gè)地方的教育都對(duì)我以后的工作有決定性的作用。”他說(shuō)。

1971年，楊振寧在考察了多所國(guó)內(nèi)大學(xué)后，曾寫(xiě)過(guò)一篇文章，其中提到，國(guó)內(nèi)的大學(xué)所教的課程往往是非常深的。有所謂“四大力學(xué)”。每一個(gè)大學(xué)物理系的學(xué)生都要花很長(zhǎng)的時(shí)間去念這四門(mén)很深的理論課。“四大力學(xué)”是不是重要的呢？當(dāng)然是重要的。沒(méi)有人能否認(rèn)“四大力學(xué)”是物理學(xué)的骨干。不過(guò)，物理學(xué)不單只是骨干。只有骨干的物理學(xué)是一個(gè)骷髏，不是活的。物理學(xué)需要有骨頭，還需要有血、有肉。有骨頭又有血肉的物理學(xué)，才是活的物理學(xué)。

“物理學(xué)的學(xué)習(xí)不但需要對(duì)知識(shí)的掌握，更要有正確的研究方法和研究態(tài)度。對(duì)于幾十年前我所提出的這一問(wèn)題，目前在國(guó)內(nèi)大學(xué)有了一定程度的改進(jìn)，但并沒(méi)有完全解決，要改變現(xiàn)狀，還需要我們繼續(xù)努力。”楊振寧說(shuō)。 (中國(guó)科技網(wǎng))

楊振寧談科普

　　國(guó)內(nèi)作者缺乏扎實(shí)態(tài)度

　　和許多名人完全不同，楊振寧說(shuō)話不講客套，在其發(fā)言環(huán)節(jié)，他盡顯科學(xué)家的研究姿態(tài)，解剖起國(guó)內(nèi)的科普創(chuàng)作來(lái)。

　　楊振寧的話語(yǔ)甚至有些激烈，他說(shuō)，現(xiàn)在整個(gè)世界對(duì)科技的發(fā)展越來(lái)越重視，但國(guó)內(nèi)對(duì)于向民眾介紹各個(gè)領(lǐng)域、各個(gè)層次科學(xué)的工作，做得非常不夠。“講一句不客氣的話，多半科普文章不忍卒讀，作者沒(méi)有扎實(shí)態(tài)度，而往往是投機(jī)取巧的居多。”

　　楊振寧尤其強(qiáng)調(diào)，科普寫(xiě)作扎實(shí)態(tài)度的至關(guān)重要。他甚至以科學(xué)家人物傳記做為突破口，為年輕人進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)普及。楊振寧說(shuō)，愛(ài)因斯坦的傳記寫(xiě)作者至少有30多位，但只有一位作者的傳記被公認(rèn)為最出色，這位作者曾經(jīng)是楊振寧的同學(xué)，也是一位物理工作者，叫派斯(Abraham Pais)。從20多歲起，派斯就想寫(xiě)愛(ài)因斯坦，每次和愛(ài)因斯坦接觸，他都會(huì)把對(duì)方講話的內(nèi)容記錄下來(lái)。楊振寧說(shuō)，派斯累積了近20年，直到上世紀(jì)80年代，由他撰寫(xiě)的《愛(ài)因斯坦傳》(Subtle is the Lord — The science and the life of Albert Einstein)才面世。

楊振寧認(rèn)為，事實(shí)上，科學(xué)研究前沿的很多問(wèn)題是非常有意思的，要想真正做出來(lái)卓越的工作，需要對(duì)有意思的事情發(fā)生濃厚的興趣。“我一直說(shuō)，做一個(gè)工作要有三部曲。第一步，要對(duì)這個(gè)問(wèn)題發(fā)生濃厚的興趣。第二步，要做一個(gè)長(zhǎng)期的思考和努力，這個(gè)長(zhǎng)期的努力常常是不成功的，甚至使你自己非常沮喪。第三步，100年以前有一個(gè)大數(shù)學(xué)家分析過(guò)，他說(shuō)你做了很復(fù)雜的努力，不出結(jié)果甚至很沮喪的時(shí)候，你常常不可避免地要休息一下子。” (來(lái)源是亨利·龐加萊(Jules Henri Poincaré)的The Foundations of Science: Science and Hypothesis, the Value of Science, Science and Method -- I turned my attention to the study of some arithmetical questions apparently without much success and without a suspicion of any connection with my preceding researches. Disgusted with my failure, I went to spend a few days at the seaside and thought of something else. One morning, walking on the bluff, the idea came to me, with just the same characteristics of brevity, suddenness and immediate certainty, that the arithmetic transformations of indefinite ternary quadratic forms were identical with those of non-Euclidian geometry.)

楊振寧：《易經(jīng)》對(duì)中華文化的影響
——在人民大會(huì)堂舉行的“2004文化高峰論壇”上所做的報(bào)告

睿智的楊振寧先生

[編者按]這是楊振寧先生2004年9月3日在人民大會(huì)堂舉行的“2004文化高峰論壇”上所做題為“《易經(jīng)》對(duì)中華文化的影響”的報(bào)告。楊振寧先生是華人科學(xué)家的驕傲，是1957年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主，他在這次報(bào)告中對(duì)《易經(jīng)》的批評(píng)非常尖銳，報(bào)告在海內(nèi)外的華人圈中引起巨大反響，盡管楊振寧聲明自己并無(wú)攻擊中國(guó)傳統(tǒng)文化之心，但還是引起了來(lái)自廣泛途徑的持久的激烈批評(píng)，在國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)界引起很大的爭(zhēng)論。今日將報(bào)告全文轉(zhuǎn)摘在此，供各位網(wǎng)友欣賞。

楊振寧:《易經(jīng)》對(duì)中華文化的影響

各位女士，各位先生，方才對(duì)我的介紹有一點(diǎn)點(diǎn)需要更正的地方：我在美國(guó)紐約州立大學(xué)已經(jīng)退休了，我現(xiàn)在是北京清華大學(xué)的教授與香港中文大學(xué)的教授。

我的題目是《《易經(jīng)》對(duì)中華文化的影響》，以下幾十分鐘要討論許多觀念：精簡(jiǎn)、比類、天人合一，聯(lián)想，取象，漢語(yǔ)漢字之形成，歸納等。這么多觀念很短時(shí)間不能講得清楚，主要討論的集中于三點(diǎn)。 （附圖一）

第一《易經(jīng)》影響了中華文化中的思維方式，而這個(gè)影響是近代科學(xué)沒(méi)有在中國(guó)萌芽的重要原因之一。這也是我所以對(duì)于《易經(jīng)》發(fā)生了興趣。

第二《易經(jīng)》是漢語(yǔ)成為單音語(yǔ)言的原因之一。

第三《易經(jīng)》影響了中華文化的審美觀念。

我是研究物理學(xué)的，沒(méi)有研究過(guò)歷史學(xué)、考古學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、語(yǔ)音學(xué)、美學(xué)、哲學(xué)等等。可是對(duì)于中國(guó)文化的成因，我近年來(lái)發(fā)生了興趣，所以大膽的今天在這個(gè)場(chǎng)合跟大家談?wù)勎易约旱囊恍┫敕ā?

《易經(jīng)》大家知道是中國(guó)非常古老的一個(gè)文獻(xiàn)，據(jù)說(shuō)是夏朝已經(jīng)有了最早的《易經(jīng)》叫連山，商朝有了比較晚一點(diǎn)的歸藏，都失傳了。我們現(xiàn)在所看見(jiàn)的《易經(jīng)》是西周時(shí)候的周易。所以《易經(jīng)》的孕育前后至少經(jīng)過(guò)一千多年，這個(gè)結(jié)論我想是大家可以同意的。

《易經(jīng)》里面64卦開(kāi)始是乾卦和坤卦。如果問(wèn)《易經(jīng)》是怎么形成的，以下這個(gè)說(shuō)法大家似乎可以接受：最早中國(guó)發(fā)展了占卜，因?yàn)橐獙?duì)占卜作系統(tǒng)性了解就發(fā)展了卦符，所有64卦都有卦符。乾就是六個(gè)連線，坤是六個(gè)斷線。有了符以后還得有名與字。卦名有音，有音還不夠，就有一個(gè)字。這前后發(fā)展的次序我不是研究考古學(xué)的，不過(guò)我想這個(gè)次序很可能多少是對(duì)的。

可是我們知道孕育《易經(jīng)》的年代也正是漢語(yǔ)漢字開(kāi)始形成的年代，是中華文化孕生的年代。這些卦是“象”，這是周易里面自己講的，是濃縮了的觀念，以卦符卦名將天、地、人的變遷分類為“象”。

上面這幾句話可以說(shuō)是用今天的語(yǔ)言來(lái)描述到底《易經(jīng)》的精神是什么：濃縮化、分類化、抽象化、精簡(jiǎn)化、符號(hào)化是《易經(jīng)》的精神。而這種精神我認(rèn)為貫穿到了幾千年以來(lái)中國(guó)文化里面每一個(gè)角落。

譬如分類精簡(jiǎn)，例子極多。今天大家知道中醫(yī)的理論其中重要的一點(diǎn)就是把疾病與醫(yī)藥各分成陰陽(yáng)、寒暖、表里，等類，用這個(gè)分類的觀念做大前提發(fā)展中醫(yī)理論。這是從《易經(jīng)》的傳統(tǒng)所遺留下來(lái)的。像這樣的例子我們可以舉很多。

一、近代科學(xué)沒(méi)有在中國(guó)萌生的原因

近代科學(xué)為什么沒(méi)有在中國(guó)萌生。已經(jīng)有很多人討論過(guò)了。歸納起來(lái)大概有五種道理：

第一，中國(guó)的傳統(tǒng)是入世的，不是出世的。換句話就是比較注重實(shí)際的，不注重抽象的理論架構(gòu)。

第二，科舉制度。

第三，觀念上認(rèn)為技術(shù)不重要，認(rèn)為是“奇技淫巧”。

第四，中國(guó)傳統(tǒng)里面無(wú)推演式的思維方法。

第五，有天人合一的觀念。

第四跟第五兩點(diǎn)跟《易經(jīng)》我認(rèn)為都有密切的關(guān)系。

先講第四點(diǎn)，關(guān)于推演與歸納兩種思維方法。近代科學(xué)的思維方法見(jiàn)下圖：（附圖二）

歸納與推演都是近代科學(xué)中不可缺少的思維方法。為說(shuō)明此點(diǎn)讓我們看一下Maxwell（1831-1879）創(chuàng)建Maxwell方程的歷史。

Maxwell是十九世紀(jì)最偉大的物理學(xué)家。他在十九世紀(jì)中葉寫(xiě)了三篇論文，奠定了電磁波的準(zhǔn)確結(jié)構(gòu)，從而改變了人類的歷史。二十世紀(jì)所發(fā)展出來(lái)的無(wú)線電，電視，網(wǎng)絡(luò)通訊等等，統(tǒng)統(tǒng)都基于Maxwell方程式。他是怎樣得到此劃時(shí)代的結(jié)果呢？

他的第一篇文章里面用的是歸納法，里面有這樣一段話：

“我們必須認(rèn)識(shí)到互相類似的物理學(xué)分支。就是說(shuō)物理學(xué)中有不同的分支，可是他們的結(jié)構(gòu)可以相互映證。”

他用這個(gè)觀念來(lái)研究怎樣寫(xiě)出電磁學(xué)方程式，以流體力學(xué)的一些方程式為藍(lán)本。這種研究方法遵循了歸納法的精神。

幾年以后，在第三篇文章中他把用歸納法猜出的電磁方程式，運(yùn)用推演法而得出新結(jié)論：這些方程式顯示電磁可以以波的形式傳播，其波速與當(dāng)時(shí)已知的光速相符，所以“光即是電磁波”，這是劃時(shí)代的推測(cè)，催生了二十世紀(jì)的科技發(fā)展與人類今天的生活方式。

上面的故事清楚地顯示歸納與推演二者同時(shí)是近代科學(xué)的基本思維方法。

中華傳統(tǒng)文化的一大特色是有歸納法，可是沒(méi)有推演法。其中歸納法的來(lái)源是什么？

“易者象也”，“圣人立象以盡意”，“取象比類”，“觀物取象”。

都是貫穿《易經(jīng)》的精神。都是歸納法，是向上求整體“象”的方法。

可是中華文化沒(méi)有發(fā)展出推演法。我們?cè)趺纯梢宰C明此欠缺呢？請(qǐng)看徐光啟的一些話：徐光啟（1562-1633）是明朝末年一個(gè)大臣，而且是一個(gè)大學(xué)者。大家知道他是最早與利瑪竇合作翻譯歐幾里德的幾何原本的人，翻譯了前六章。他們翻譯的原版，現(xiàn)在在國(guó)內(nèi)還有幾本，我曾經(jīng)在北京圖書(shū)館去請(qǐng)他們給我看過(guò)一本。

歐幾里德的幾何學(xué)是人類歷史上一個(gè)大貢獻(xiàn)，第一次把推演法規(guī)律化，其影響不可以道里計(jì)。后來(lái)牛頓寫(xiě)了Principia Mathematica。如果你翻一下此書(shū)你就會(huì)發(fā)現(xiàn)他寫(xiě)的方法完全是照著歐幾里德幾何原本方法，是由公理，定理，然后到證明等等。它是照抄歐幾里德的推演法的形式。不幸的是徐光啟翻譯幾何原本的時(shí)候雖早，（那時(shí)牛頓還沒(méi)有出生），可是這翻譯有將近三百多年在中國(guó)沒(méi)有發(fā)生應(yīng)該有的影響。

徐光啟在翻譯了以后，了解到推演法一個(gè)特點(diǎn)就是“欲前后更置之不可得。”

就是一條一條推論不能次序顛倒。這跟中國(guó)傳統(tǒng)不一樣。中國(guó)傳統(tǒng)對(duì)于邏輯不注意，說(shuō)理次序不注意，要讀者自己體會(huì)出來(lái)最后的結(jié)論。徐光啟又有這樣幾句很有名的話：

似至晦，實(shí)至明，

似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，

似至難，實(shí)至易。

這也是推演法的特點(diǎn)。懂了推演法的精神以后就知道推演其實(shí)比歸納容易。請(qǐng)參閱圖二。

下面要講上述第五點(diǎn)，關(guān)于“天人合一”的觀念。

“天人一物”，“理一分殊”，“內(nèi)外一理”，起源于易經(jīng)每一卦都包含天道地道與人道在內(nèi)，天的規(guī)律跟人世的規(guī)律是一回事。

我們知道王陽(yáng)明格竹子，是要用人世間的“理”追求自然界的“理”，這樣當(dāng)然格不出近代科學(xué)。近代科學(xué)一個(gè)特點(diǎn)就是要擺脫掉天人合一這個(gè)觀念，承認(rèn)人世間有人世間的規(guī)律，有人世間復(fù)雜的現(xiàn)象，自然界有自然界的規(guī)律與自然界的復(fù)雜現(xiàn)象，這兩者是兩回事，不能把它合在一起。

當(dāng)然我講這句話會(huì)使得很多人覺(jué)得，尤其是研究中國(guó)哲學(xué)的人覺(jué)得我對(duì)于中國(guó)的傳統(tǒng)哲學(xué)攻擊得太厲害了。我完全沒(méi)有攻擊的意思。天人合一的內(nèi)涵絕不止內(nèi)外一理，還有更重要的“天人和諧”。天人和諧對(duì)于中國(guó)的傳統(tǒng)影響極大。而且從今天的世界現(xiàn)狀講起來(lái)，我們可以問(wèn)，摒棄天人合一而完全用西方的辦法發(fā)展下去是否將要有天人對(duì)立的現(xiàn)象。這是一個(gè)非常重要的題目，不過(guò)不在我今天所能夠討論的范圍之內(nèi)。

二、漢語(yǔ)漢字的成因

世界上原始語(yǔ)言與成熟語(yǔ)言幾乎都是復(fù)音的，單音的語(yǔ)言是僅有的。我不曉得任何一個(gè)別的成熟的語(yǔ)言是像漢語(yǔ)這樣單音的。近年考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一萬(wàn)六千年以前江西的居民已經(jīng)采集野生稻為主要的糧食。所以在一萬(wàn)多年以前已經(jīng)開(kāi)始形成了中華文化。我們可以相信他們已經(jīng)有語(yǔ)言，我們也有理由可以假設(shè)，這些我們的祖先所用的語(yǔ)言是復(fù)音的。那么后來(lái)怎么變成單音的漢語(yǔ)呢？

從復(fù)音的漢語(yǔ)變成單音的漢語(yǔ)這中間一定有一個(gè)很長(zhǎng)的過(guò)程，而且一定有它的道理，因?yàn)檫@是十分獨(dú)特的事情。

我的一個(gè)大膽的假設(shè)是：這變化是受了易經(jīng)的影響。卦名是單音的。乾、坤，……都是單音的。是統(tǒng)治者用的，是神秘的，有重大影響的，念起來(lái)有份量的。久之就形成了一個(gè)重視單音符號(hào)的價(jià)值觀，而影響后來(lái)整個(gè)漢語(yǔ)的發(fā)展。在座有語(yǔ)言學(xué)的專家，我這個(gè)講法是很大膽的，希望不被語(yǔ)言學(xué)家批評(píng)得體無(wú)完膚。我們看元、亨、利、貞、吉、兇、陰、陽(yáng)、日、月、天、地，這些有聲有色，有份量的，講出來(lái)有影響的單音字對(duì)于整個(gè)語(yǔ)言文字的發(fā)展當(dāng)然產(chǎn)生重要的影響，所以我剛才說(shuō)我猜想漢語(yǔ)、漢字所以變成單音的語(yǔ)言文字與《易經(jīng)》有密切關(guān)系。

三、中華文化的審美觀

《易經(jīng)》的濃縮化，分類化，抽象化，精簡(jiǎn)化，符號(hào)化的精神對(duì)中華文化的影響極深又極廣。下面我簡(jiǎn)單討論它對(duì)漢語(yǔ)、漢文法、文學(xué)、藝術(shù)、書(shū)法等的影響。

英文“Word”，通常翻譯為字。這不恰當(dāng)。應(yīng)翻譯為詞，是一個(gè)或好幾個(gè)字構(gòu)成的。比如“現(xiàn)代”，比如“所以”，都是兩個(gè)字的詞。詞可以是一個(gè)，兩個(gè)或更多字所組成的，可是絕大多數(shù)是一個(gè)或者兩個(gè)字的，不太有三個(gè)字以上的詞。多半的三個(gè)字或以上的詞都是復(fù)詞，或是音譯的詞。前者例如“外祖父”，“洞庭湖”，后者例如“成吉思汗”。

19世紀(jì)開(kāi)始翻譯元素名字的時(shí)候也只用一個(gè)字，氧、硫、鐳，這些在英文里面都是復(fù)音的，在中國(guó)翻譯都變成一個(gè)單音的詞。為什么這樣吝嗇呢？我認(rèn)為在中華文化形成時(shí)代，在漢語(yǔ)形成時(shí)代，受了易經(jīng)的卦名的影響，發(fā)展出來(lái)了精簡(jiǎn)為美，濃縮為美的深層觀念。此審美觀影響了詞的形成。

世界所有的語(yǔ)言都有共同的深層文法，然后在此深層文法之上，不同的語(yǔ)系各自發(fā)展，這是Chomsky的一個(gè)大發(fā)現(xiàn)。比較不同的語(yǔ)言就會(huì)發(fā)現(xiàn)每一種語(yǔ)言都有名詞，動(dòng)詞，形容詞、介詞等等。漢語(yǔ)亦然。可是漢語(yǔ)的一大特點(diǎn)就是極少用介詞。例如不說(shuō)“我的父親”而說(shuō)“我父親”；不說(shuō)“慢慢地跑”而說(shuō)“慢慢跑”，把介詞省略掉了。所以西方人說(shuō)中文是電報(bào)式的文字，尤其是古文。好的古文確實(shí)是極美的文學(xué)。美的原因之一就是古文不遵循通常文法的發(fā)展方式，而力求用最少的詞表達(dá)出最多的意思。這種審美觀念應(yīng)是易經(jīng)的濃縮化精簡(jiǎn)化的申延。

聯(lián)想在世界任何文學(xué)之中都占重要的位置，而在漢文文學(xué)之中占有特別重要的位置，因?yàn)闈h文中的詞既常常建構(gòu)于數(shù)個(gè)單音的字，就往往是根據(jù)聯(lián)想而形成的。譬如風(fēng)氣，風(fēng)云，風(fēng)流，風(fēng)景，風(fēng)光，風(fēng)雨，風(fēng)俗都是聯(lián)想形成的詞。風(fēng)云一詞的形成可用下圖表示：（附圖三）

這種詞的結(jié)構(gòu)更進(jìn)一步促使?jié)h文學(xué)演化成聯(lián)想的文學(xué)，“云想衣裳花想容”，“秦時(shí)明月漢時(shí)關(guān)”就都是升華了的聯(lián)想。

中華傳統(tǒng)繪畫(huà)所追求的意境與西方傳統(tǒng)繪畫(huà)完全不同，是“觀物取象”的象，不是照像的像；是精神的象，不是形似的像；是天人合一的象，不是歌頌自然的像。我認(rèn)為這種思維精神是從易經(jīng)來(lái)的。

至于說(shuō)易經(jīng)對(duì)書(shū)法的影響，更是非常清楚了。書(shū)法在傳統(tǒng)的中華文化中占極重要的位置，是其它文化所沒(méi)有的。

而書(shū)法顯然跟《易經(jīng)》的濃縮化、符號(hào)化、抽象化的精神有直接關(guān)系。我一個(gè)好朋友書(shū)法家、雕塑家、文學(xué)家、文學(xué)評(píng)論家熊秉明在《中國(guó)書(shū)法理論體系》里面曾說(shuō)中國(guó)文化的核心是哲學(xué)，中國(guó)文化核心的核心是書(shū)法，我所以完全同意他這句話，就是因?yàn)闀?shū)法把《易經(jīng)》的精神具體化了，現(xiàn)實(shí)化了。

2004年9月23日 定稿

（附圖一）

（附圖二）

（附圖三）

楊振寧：在科學(xué)與玄學(xué)之間

11月20日，在博鰲亞洲論壇會(huì)議中心舉辦的新聞發(fā)布會(huì)上，楊振寧博士再次肯定了他在《2004文化高峰論壇》的說(shuō)法。“很多人曾討論過(guò)近代科學(xué)為何沒(méi)在中國(guó)萌生，我覺(jué)得和《易經(jīng)》有很大關(guān)系。”楊博士認(rèn)為，中華文化有歸納法，可沒(méi)有推演法。采取天人合一的哲學(xué)觀念，是受《易經(jīng)》的影響。 諾貝爾獎(jiǎng)獲得者楊振寧，在“2004文化高峰論壇”上指出，《易經(jīng)》是近代科學(xué)沒(méi)有在中國(guó)萌芽的罪魁禍?zhǔn)祝谖幕c科學(xué)界引起劇烈爭(zhēng)論。 再度成為新聞焦點(diǎn)人物

楊振寧作為在華人當(dāng)中知名度最高的當(dāng)代科學(xué)家之一，他的影響力并不局限于物理學(xué)界。像許多大科學(xué)家一樣，他極為關(guān)注、熱心參與社會(huì)事務(wù)，特別是與中國(guó)有關(guān)的事務(wù)。1971年夏天，在中美關(guān)系正常化的前夕，楊振寧即訪問(wèn)中國(guó)，成為第一位訪問(wèn)新中國(guó)的美籍科學(xué)家。從此他致力于中美科技、教育交流，并經(jīng)常對(duì)中國(guó)時(shí)事發(fā)表評(píng)論。去年年初楊振寧回國(guó)定居后，更是成為新聞焦點(diǎn)人物。他在清華大學(xué)為低年級(jí)本科生上物理課，頻頻在各種場(chǎng)合發(fā)表演講，都被廣泛報(bào)道乃至引起爭(zhēng)議。去年底傳出了82歲的楊振寧與28歲翻譯系碩士生結(jié)婚的消息，更是成為中文網(wǎng)上一個(gè)熱門(mén)話題。

“蒼蒼白發(fā)對(duì)紅妝”雖然讓人津津樂(lè)道，卻只配作為飯后談資，而且風(fēng)波會(huì)很快平息。“炮轟易經(jīng)”才是楊振寧在2004年所做的最有意義、最有影響的一件事。

引來(lái)國(guó)學(xué)家、易學(xué)家的指責(zé)

2004年9月3日，楊振寧在北京人民大會(huì)堂“2004文化高峰論壇”上作題為《〈易經(jīng)〉對(duì)中華文化的影響》的演講，認(rèn)為“《易經(jīng)》影響了中華文化中的思維方式，而這個(gè)影響是近代科學(xué)沒(méi)有在中國(guó)萌芽的重要原因之一”。一時(shí)輿論大嘩，國(guó)學(xué)家、易學(xué)家們紛紛出來(lái)批評(píng)楊振寧不懂裝懂、說(shuō)外行話，甚至對(duì)楊振寧破口大罵。10月23日，在清華大學(xué)舉辦的“中國(guó)傳統(tǒng)文化對(duì)中國(guó)科技發(fā)展的影響論壇”上，楊振寧再次闡明自己的觀點(diǎn)并和與會(huì)者進(jìn)行了激烈爭(zhēng)論。

　　愛(ài)因斯坦早有說(shuō)法

盡管中國(guó)古代對(duì)人類科技發(fā)展做出了很多重要貢獻(xiàn)，但是為什么近代科學(xué)沒(méi)有在中國(guó)萌芽？這個(gè)問(wèn)題在科技史研究中被稱為“李約瑟難題”。1953年愛(ài)因斯坦在致斯威澤的信中，曾經(jīng)給出過(guò)一個(gè)答案：

“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大的成就為基礎(chǔ)的：希臘哲學(xué)家（在歐幾里得幾何學(xué)中）發(fā)明了形式邏輯體系，以及（在文藝復(fù)興時(shí)期）發(fā)現(xiàn)通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)有可能找出因果關(guān)系。在我看來(lái)，人們不必對(duì)中國(guó)圣賢沒(méi)能做出這些進(jìn)步感到驚訝。這些發(fā)現(xiàn)竟然被做出來(lái)了才是令人驚訝的。”

言下之意是，古代中國(guó)學(xué)者不懂得形式邏輯體系和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，因此沒(méi)能發(fā)展出近代科學(xué)并不令人驚訝。

　　為何咎歸《易經(jīng)》

楊振寧實(shí)際上給出了一個(gè)類似的答案，只不過(guò)他把原因進(jìn)一步歸結(jié)為《易經(jīng)》的影響。他認(rèn)為近代科學(xué)沒(méi)有在中國(guó)產(chǎn)生的原因有5條，其中2條與《易經(jīng)》的影響有關(guān)：中國(guó)傳統(tǒng)里面只有歸納法而無(wú)推演法（即演繹法）的思維方法；“天人合一”的觀念。歸納與推演都是近代科學(xué)中不可缺少的基本思維方法，但是貫穿《易經(jīng)》的精神，都是歸納法，而沒(méi)有推演法。近代科學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)就是把自然規(guī)律與社會(huì)規(guī)律分開(kāi)，而《易經(jīng)》的“天人合一”觀念卻將天道、地道與人道混為一談。

許多國(guó)學(xué)家在批評(píng)楊振寧時(shí)，甚至連楊振寧的意思都沒(méi)有搞清楚。例如著名易學(xué)家、山東大學(xué)哲學(xué)系教授劉大鈞批評(píng)楊振寧的演講“有很多常識(shí)性錯(cuò)誤”，并舉例說(shuō)：“眾所周知，《周易》是最早的一部算卦的書(shū)，算卦的方法就是靠推演，舉一反三，怎么能說(shuō)沒(méi)有推演呢？另外，《周易》是一本‘普世之書(shū)’。從這個(gè)角度，也是一種廣義的‘推演’。”但楊振寧所說(shuō)的推演法指的是邏輯推理，根據(jù)一些已成立的一般性命題嚴(yán)密地逐步推出較特殊的結(jié)論，例如在歐幾里得幾何中，由公理，定理，然后到證明等等。這顯然和劉大鈞說(shuō)的周易算卦的推演完全不是一回事。

可見(jiàn)，楊振寧和愛(ài)因斯坦一樣，把希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系視為近代科學(xué)的源泉之一，并認(rèn)為中國(guó)古代文化缺少這個(gè)源泉：“中國(guó)傳統(tǒng)對(duì)于邏輯不注意，說(shuō)理次序不注意，要讀者自己體會(huì)出來(lái)最后的結(jié)論。”實(shí)際上，中國(guó)傳統(tǒng)中不僅缺少合乎邏輯的嚴(yán)密推演法，也缺少合乎邏輯的嚴(yán)密歸納法。楊振寧認(rèn)為《易經(jīng)》的“取象比類”、“觀物取象”的所謂歸納法，其實(shí)是在“天人合一”的神秘主義觀念指導(dǎo)下的不合乎邏輯的類比法。例如：“枯楊生華，老夫得其女妻，無(wú)不利。”（枯萎的楊樹(shù)生出新芽，老年男子娶了年齡可當(dāng)其女兒的年輕女子為妻，沒(méi)有不利的）、“枯楊生華，老婦得其士夫，無(wú)咎無(wú)譽(yù)。”（枯萎的楊樹(shù)開(kāi)花，老年女子嫁給年富力強(qiáng)的男子，沒(méi)有禍害也不值得稱道）。在“枯楊生華”和“老夫得其女妻”、“枯楊生華”和“老婦得其士夫”這種天道和人道之間只有模糊的相似性，并不存在任何合乎邏輯的必然關(guān)系，由此歸納出的“無(wú)不利”、“無(wú)咎無(wú)譽(yù)”的結(jié)論更是站不住腳的（可以舉出無(wú)數(shù)的反例加以推翻）。這種“推演”無(wú)非是男尊女卑的社會(huì)觀念的反映，或許還有一些生理上的道理，但是與邏輯推理無(wú)關(guān)。

中國(guó)傳統(tǒng)的說(shuō)理方式不具有邏輯性，是許多中外學(xué)者都已指出過(guò)的一個(gè)事實(shí)。但《易經(jīng)》對(duì)這種非邏輯說(shuō)理傳統(tǒng)的影響有多大，是否是其源泉，是一個(gè)可以討論的問(wèn)題。楊振寧不過(guò)是對(duì)老學(xué)術(shù)問(wèn)題提出了一些見(jiàn)解，為何引起如此大的風(fēng)波？

　　科學(xué)與玄學(xué)之爭(zhēng)的延續(xù)

狹隘民族主義與偽科學(xué)相結(jié)合的思潮在中國(guó)雖然不像十幾年前那么流行，但是仍然大有市場(chǎng)。風(fēng)水、占卜、命理、天人感應(yīng)、巫術(shù)等與《易經(jīng)》有著千絲萬(wàn)縷聯(lián)系的傳統(tǒng)迷信在死灰復(fù)燃的同時(shí)，又往往被披上迷人的科學(xué)外衣，甚至有人聲稱它們代表著“新科學(xué)”，至少也是“潛科學(xué)”、“類科學(xué)”。也有人論證《易經(jīng)》是超前的科學(xué)著作，里面蘊(yùn)涵著量子力學(xué)、相對(duì)論、計(jì)算機(jī)理論、遺傳密碼等許多重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)。還有人要以《易經(jīng)》指導(dǎo)科學(xué)研究，根據(jù)它提出的“太極原子模型”，推演出“太陽(yáng)系有十四顆大行星”，或要用它預(yù)測(cè)氣象變化。 楊振寧指出《易經(jīng)》的思想和方法根本就與科學(xué)格格不入，甚至要為近代科學(xué)沒(méi)有在中國(guó)產(chǎn)生承擔(dān)罪責(zé)。雖然許多人做過(guò)類似的批評(píng)，有的批評(píng)要比楊振寧的演講更嚴(yán)密、更尖銳、更全面、更有說(shuō)服力。但是楊振寧作為人人敬仰的大物理學(xué)家登高一呼，其影響非同小可。特別是，楊振寧向來(lái)被視為具有極強(qiáng)的民族自尊心、熱愛(ài)中華傳統(tǒng)文化的海外華人，他的反戈一擊，矛頭直指被視為中華傳統(tǒng)文化源泉之一的《易經(jīng)》，更要讓易學(xué)家們大為光火。這實(shí)際上是自20世紀(jì)初以來(lái)科學(xué)與玄學(xué)之爭(zhēng)的延續(xù)，能夠引起如此大的反響，也反映出當(dāng)今中國(guó)科學(xué)與玄學(xué)、科學(xué)與偽科學(xué)、科學(xué)與反科學(xué)的爭(zhēng)斗的激烈程度。由于楊振寧的加入，大大增加了科學(xué)一方的力量，算得上是他為中國(guó)科學(xué)的發(fā)展做出的一個(gè)大貢獻(xiàn)。

摘自《人物》　方舟子文

楊振寧在2002年6月巴黎國(guó)際理論物理大會(huì)做報(bào)告的記述

　　　“千古三旋律，循循談笑中”是楊振寧先生的“歸根”詩(shī)中的一句。作為一名普通的物理學(xué)工作者，我非常有幸目睹了這個(gè)詩(shī)句所指的重要事情。現(xiàn)在根據(jù)楊先生的有關(guān)文章（見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]），以及我對(duì)此事的回憶和感受寫(xiě)下下面的文字，從而與大家分享從楊先生那里得到的珍貴教益和鼓舞。這也算是對(duì)2005年世界物理年活動(dòng)的一點(diǎn)貢獻(xiàn)。

　　　　2002年6月22至27日，巴黎。國(guó)際理論物理大會(huì)在聯(lián)合國(guó)教科文組織（UNESCO）的會(huì)議廳召開(kāi)。在當(dāng)代，這種覆蓋物理學(xué)幾乎所有分支的大會(huì)是很少的。這次會(huì)議可以說(shuō)是在世紀(jì)之交人類對(duì)物理學(xué)的一個(gè)總結(jié)和展望。如果當(dāng)時(shí)你在那里，你會(huì)經(jīng)常在不同分支學(xué)科的報(bào)告中，聽(tīng)到同一個(gè)名字：楊(Yang)。你會(huì)聽(tīng)到如“楊-李零點(diǎn)”(Yang-Lee Zeros)和“楊-巴克斯特方程”(Yang-Baxter Equation)這樣一些名詞，而更多地會(huì)聽(tīng)到“楊-米爾斯理論”(Yang-Mills Theory)。當(dāng)然，這個(gè)楊就是楊振寧。

　　　　在國(guó)際物理學(xué)界，并且在整個(gè)物理學(xué)史上，楊振寧（Chen Ning Yang或Frank Yang）永遠(yuǎn)是一個(gè)響亮的名字。

　　　　那次理論物理大會(huì)的壓臺(tái)戲是兩位極重要的人物的歷史性報(bào)告。一位是凝聚態(tài)物理大師安德森（P. W. Anderson）。另一位就是楊振寧。

　　　　在安德森的報(bào)告開(kāi)始前，楊先生飄然來(lái)到會(huì)場(chǎng)，坐到第一排中間一個(gè)空位上，并習(xí)慣性地?cái)[正話筒。楊先生身著白襯衫，步伐矯健，動(dòng)作麻利。對(duì)于當(dāng)代物理學(xué)的老將們來(lái)說(shuō)，這個(gè)熟悉親切的身影與二十世紀(jì)后半葉物理學(xué)的許多風(fēng)云歲月密切相關(guān)。當(dāng)時(shí)我在聽(tīng)眾中，看到安德森和費(fèi)希爾(Michael Fisher)向會(huì)議組織者金-嘉思廷(J. Zinn-Justin)指明楊先生的位置：“Frank is there”。費(fèi)希爾是統(tǒng)計(jì)物理大師，將主持安德森和楊先生的報(bào)告。

　　我不知道與會(huì)者中有沒(méi)有人曾在1956年的羅切斯特會(huì)議(Rochester Conference)上聽(tīng)三十多歲的楊振寧綜述θ-τ之謎，或者有沒(méi)有人1960年在烏特瑞特(Utrecht)聽(tīng)四十多歲的楊振寧講非理想玻色(Bose)系統(tǒng)。不過(guò)我確實(shí)認(rèn)識(shí)一位作大會(huì)報(bào)告的教授，知道他曾是參加1982年馬喲拉納(Majorana)暑期講習(xí)班的學(xué)生。那是為慶祝楊振寧六十壽辰舉辦的規(guī)范作用(Gauge Interactions)講習(xí)班，理論物理大師狄拉克(P. A. M. Dirac)、維格納(E. Wigner)和特勒(E. Teller)都參加了。當(dāng)時(shí)特勒在報(bào)告中呼吁他的最好的學(xué)生楊振寧應(yīng)該得到第二次諾貝爾獎(jiǎng)。而狄拉克和維格納都是楊振寧學(xué)生時(shí)代佩服的物理學(xué)家。恐怕學(xué)生時(shí)代的楊振寧沒(méi)有想到過(guò)幾十年后他們會(huì)參加自己的生日祝壽。

　　　　我們還是回到巴黎會(huì)議。安德森的報(bào)告是“凝聚態(tài)物理五十年”，主要是回顧他五十年中對(duì)凝聚態(tài)物理的貢獻(xiàn)。報(bào)告開(kāi)始時(shí)，他先指出上一次這樣全面的理論物理大會(huì)是1953年在日本。確實(shí)，我曾讀到過(guò)著名物理學(xué)家費(fèi)曼(Richard P. Feynman)和佩斯(A. Pais)的有關(guān)那次會(huì)議的回憶。安德森還回憶了會(huì)議期間他和楊振寧兩家的交往，并展示了一些當(dāng)時(shí)的照片。當(dāng)時(shí)他和楊先生都帶了夫人和孩子。江才健的“楊振寧傳”上記述，那時(shí)持中華民國(guó)護(hù)照的楊夫人杜致禮和大兒子到臺(tái)灣探親后要回美國(guó)時(shí)遇到麻煩，正好先在日本與楊先生團(tuán)聚。順便提一下，巴黎會(huì)議結(jié)束后，記憶力過(guò)人的楊先生告訴我，安德森把自己的女兒當(dāng)時(shí)的年齡說(shuō)錯(cuò)了。

　　會(huì)議休息后，是大會(huì)的最后一個(gè)報(bào)告：楊振寧的“二十世紀(jì)理論物理的主題旋律：量子化，對(duì)稱和相位因子”(“Thematic melodies of 20th century theoretical physics: quantization, symmetry and phase factor”)。主持人費(fèi)希爾特別提醒大家：楊教授的第一篇科學(xué)論文發(fā)表在“化學(xué)物理雜志”(Journal of Chemical Physics)。雖然楊先生最著名的工作是在高能物理方面，可是在高能物理和統(tǒng)計(jì)物理兩方面的貢獻(xiàn)都是偉大的。作為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家的費(fèi)希爾的意思大概是說(shuō)楊先生的科學(xué)生涯始于統(tǒng)計(jì)物理。不過(guò)，從楊先生的論文目錄可知（見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]），其實(shí)楊先生的第一篇論文是數(shù)學(xué)論文，發(fā)表在“美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)”(Bulletin of American Mathematical Society)上，而費(fèi)希爾說(shuō)的那篇文章是楊先生的第三篇論文。這些都是楊先生在中國(guó)做學(xué)生時(shí)的工作。費(fèi)希爾也提到當(dāng)年楊先生對(duì)作為后生的他的慷慨幫助。他還提到楊先生剛剛度過(guò)八十大壽。然后很到位地說(shuō)：“他要唱二十世紀(jì)物理學(xué)的主旋律(He is going to sing the thematic melodies of 20th century physics)”。因?yàn)榘驳律瓌偛盘岬?953年在日本的會(huì)議，楊先生在開(kāi)始正式報(bào)告前告訴大家，那次會(huì)議的參加者中有十幾位后來(lái)得到了諾貝爾獎(jiǎng)。

　　　　楊先生的報(bào)告橫跨一個(gè)世紀(jì)，與他的科學(xué)論文風(fēng)格一致：優(yōu)美簡(jiǎn)潔，渾然一體，抓住要點(diǎn)，含義深邃。像是一篇不朽的壯麗史詩(shī)。報(bào)告的主要內(nèi)容已經(jīng)作為一篇綜述文章發(fā)表在“國(guó)際現(xiàn)代物理雜志”上（見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]）。為了與大家分享?xiàng)钕壬鷮?duì)物理的整體把握和精彩述評(píng)，以及由此傳達(dá)的物理學(xué)的激動(dòng)人心，下面我嘗試把楊先生這篇文章的引言部分翻譯成中文：

　　　　“人們說(shuō)二十世紀(jì)是物理學(xué)的世紀(jì)。有充足的理由支持這個(gè)說(shuō)法：人類自從祖先發(fā)現(xiàn)了火之后，在這個(gè)世紀(jì)里發(fā)現(xiàn)了第二個(gè)而且強(qiáng)得多的能源：核能。在這個(gè)世紀(jì)里，人類學(xué)會(huì)了操縱電子，從而創(chuàng)造了晶體管和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)，改變了生產(chǎn)力和生活。在這個(gè)世紀(jì)里，人類學(xué)會(huì)了探測(cè)原子尺寸的結(jié)構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)了核酸雙螺旋這個(gè)解開(kāi)生命奧秘的鑰匙。在這個(gè)世紀(jì)里，人類掙脫了地球的束縛，在月球上跨出了最初的步伐。總而言之，在這個(gè)世紀(jì)里，人類在許多的前沿取得了前所未有的進(jìn)步。而這些進(jìn)步大多數(shù)是由物理學(xué)上的震撼人心的進(jìn)展所帶來(lái)的。

　　人們很難不對(duì)二十世紀(jì)物理學(xué)的巨大發(fā)展在人類歷史上的決定性角色留下深刻的印象。但是雖然這些在人類歷史上的角色是決定性的，它們卻不代表二十世紀(jì)物理科學(xué)發(fā)展的真正輝煌。

　　　　二十世紀(jì)物理學(xué)的真正輝煌在于對(duì)重要的發(fā)源于人類文明之始的原初概念的加深理解：空間、時(shí)間、運(yùn)動(dòng)、能量、力。對(duì)于所有這些原初概念，我們的理解都發(fā)生了深刻的革命，而這些革命帶來(lái)了一個(gè)更美、更微妙、更準(zhǔn)確、更統(tǒng)一的對(duì)自然的描述。

　　　　近年來(lái)人們對(duì)于二十世紀(jì)物理學(xué)的詳細(xì)歷史有多方面的研究。我這里不去仔細(xì)探討這些課題。我將做的是在這個(gè)歷史里找到物理學(xué)發(fā)展的基調(diào)，整理出三條主線。這三條主線通過(guò)概念的發(fā)展持久地編織在一起，并以多種形式一次又一次地或單獨(dú)或交織地再現(xiàn)，正如同交響樂(lè)的主題旋律一樣。我們將看到這三個(gè)旋律一起決定了二十世紀(jì)物理學(xué)的主要發(fā)展的音調(diào)和味道。”

　然后楊先生的闡述分四部分。下面我對(duì)此介紹一下大概內(nèi)容（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]）。

　　　　一、量子化。這是第一個(gè)主旋律。楊先生認(rèn)為量子力學(xué)是人類歷史上最偉大的思想革命(intellectual revolutions)之一。楊先生特別講了在量子力學(xué)的誕生過(guò)程中，它的創(chuàng)造者們當(dāng)時(shí)的既有希望又有絕望的深刻感受。楊先生精彩地引述了量子力學(xué)的創(chuàng)造者們?cè)诳嗫嗲笏鲿r(shí)發(fā)出的肺腑之言，以及奧本海默(J. R. Oppenheimer)的一段撥動(dòng)心弦的評(píng)論。

　　　　我們知道，奧本海默二十年代曾在歐洲跟隨量子力學(xué)的創(chuàng)造者們。他在1947年至1966年任普林斯頓高等研究所所長(zhǎng)(Institute for Advanced Study，Princeton)。而楊先生1949年至1966年在該研究所工作。

　　　　二、對(duì)稱性。這是第二個(gè)主旋律。楊先生闡述的內(nèi)容大概如下。這個(gè)主旋律從愛(ài)因斯坦(A. Einstein)的狹義相對(duì)論，特別是閔科夫斯基(H. Minkowski)對(duì)它的四維描述開(kāi)始。愛(ài)因斯坦對(duì)這個(gè)時(shí)空對(duì)稱性的推廣最終導(dǎo)出了廣義相對(duì)論。對(duì)稱性這個(gè)旋律的另一變奏則是在量子力學(xué)里。通過(guò)量子力學(xué)，人們意識(shí)到，原子物理中的量子數(shù)與對(duì)稱性有深刻的關(guān)系，而群論正是關(guān)于對(duì)稱的合適的數(shù)學(xué)工具。后來(lái)通過(guò)核物理和粒子物理的發(fā)展，對(duì)稱性和群論成了物理學(xué)中的一個(gè)主導(dǎo)性主題。

　　　　我們知道，楊先生正是這個(gè)主題的高峰期的一位領(lǐng)袖。楊先生在西南聯(lián)大讀書(shū)時(shí)，就在統(tǒng)計(jì)物理和對(duì)稱性兩方面打下優(yōu)秀的基礎(chǔ)。后來(lái)，楊先生在對(duì)稱性研究上的特長(zhǎng)正好與粒子物理發(fā)展的需要相契合。正如楊先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)的，他和他的同事與粒子物理一起成長(zhǎng)。

　　　　三、相位因子。這是第三個(gè)主旋律。楊先生首先引述了狄拉克七十歲時(shí)說(shuō)的一段關(guān)于量子力學(xué)里的相位因子的重要性的論述。然后，楊先生講述了最初相位因子是如何被發(fā)現(xiàn)的。楊先生告訴我們， 1922年，薛定諤(E. Schrodinger)在創(chuàng)立正式的量子力學(xué)前就發(fā)現(xiàn)，通過(guò)加入一個(gè)虛數(shù)單位，魏爾(H. Weyl)的規(guī)范(gauge)或伸展(stretch)因子就變成相位因子。后來(lái)福克(Vladimir Fock)和弗里茨·倫敦(Fritz London)也作過(guò)有關(guān)的探討。再后來(lái)魏爾自己也更正失誤，創(chuàng)立了正確的電磁規(guī)范理論，從而“規(guī)范”的涵義更正為相位。然而相位因子的重要性沉睡了幾十年。

　　　　事實(shí)上，這段曲折歷史的發(fā)掘是楊先生對(duì)物理學(xué)史研究的重要貢獻(xiàn)。

　　　　四、展開(kāi)。楊先生指出，三個(gè)主旋律通過(guò)展開(kāi)、變奏、交織在整個(gè)二十世紀(jì)物理學(xué)中扮演著類似音樂(lè)里的主題旋律的角色。1954年，為了解決人們無(wú)法確定大量發(fā)現(xiàn)的奇異粒子間相互作用的問(wèn)題，楊振寧和米爾斯(R. Mills)給出一個(gè)確定高能粒子間相互作用的原理。他們注意到，通過(guò)魏爾的規(guī)范理論，電荷守恒和規(guī)范對(duì)稱聯(lián)系在一起。他們把規(guī)范對(duì)稱推廣到一般的“非阿貝爾”情形并和同位旋守恒聯(lián)系起來(lái)，這同時(shí)又符合定域場(chǎng)的概念。1974年，相位因子被推廣到不可積非阿貝爾相因子，從而把對(duì)稱性和相位因子這兩個(gè)主旋律緊密交織起來(lái)。“對(duì)稱性支配相互作用”成了一個(gè)原理，并呼應(yīng)愛(ài)因斯坦導(dǎo)出引力作用的方法。對(duì)非阿貝爾規(guī)范理論（即楊-米爾斯理論）的進(jìn)一步研究導(dǎo)致了粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型，但標(biāo)準(zhǔn)模型還有大問(wèn)題。楊先生還提到，三個(gè)主旋律以及非阿貝爾規(guī)范理論在費(fèi)曼的路徑積分形式(path integral formalism)中漂亮地展現(xiàn)。

　　　　楊先生的報(bào)告中還有些很有趣的內(nèi)容在書(shū)面版本(參考文獻(xiàn)[1])中省略了。在講完第一個(gè)主旋律時(shí)，楊先生對(duì)幾位物理大師的風(fēng)格言簡(jiǎn)意賅地評(píng)價(jià)如下。泡利(W. Pauli)：功力(Power); 費(fèi)米(E. Fermi)：穩(wěn)健、實(shí)力(Solidity, Strength); 海森堡(W. Heisenberg)：深刻的洞察力(Deep insight); 狄拉克：笛卡爾式的純粹(Cartesian purity)。講完“對(duì)稱性支配相互作用”和路徑積分以后，楊先生還講到規(guī)范場(chǎng)和當(dāng)代數(shù)學(xué)中的纖維叢(fibre bundle)的緊密關(guān)系，并提及他與數(shù)學(xué)大師陳省身的交往。

　　　　我們知道，“對(duì)稱性支配相互作用”是楊先生提出的革命性的思想。著名物理學(xué)家戴森(F. Dyson)認(rèn)為楊先生是“保守的革命者”(“a conservative revolutionary”)。不可積非阿貝爾相因子以及規(guī)范場(chǎng)的數(shù)學(xué)意義也是楊先生和合作者（吳大峻教授）的貢獻(xiàn)。楊先生的這個(gè)以及其它一些工作對(duì)純數(shù)學(xué)也產(chǎn)生了并產(chǎn)生著極深刻和極深遠(yuǎn)的影響。楊先生在揭示物理與幾何拓?fù)涞纳羁搪?lián)系上起了關(guān)鍵作用。這個(gè)研究方向至今還是高能物理、凝聚態(tài)物理等多個(gè)領(lǐng)域的前沿。

　　　　最后，楊先生還從一個(gè)特別的高度探討了三個(gè)主旋律在人類思想發(fā)展中最初的起源：量子化的思想與人類對(duì)測(cè)量單位的認(rèn)識(shí)，以及德謨克利特(Democritus)的“原子”思想以及芝諾(Zeno)和莊周的連續(xù)性思想有關(guān)；對(duì)稱性的概念來(lái)自對(duì)幾何形態(tài)的美的認(rèn)識(shí)，源于阿納克西曼德(Anaximander)和畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的思想；相位的概念則與月亮的圓缺的循環(huán)有關(guān)。楊先生指出，經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家努力，這三個(gè)原初的、不準(zhǔn)確的概念發(fā)展成為二十世紀(jì)理論物理的主題旋律，并將繼續(xù)引領(lǐng)物理學(xué)在下個(gè)三十至五十年的發(fā)展。

　　　　楊先生在他的報(bào)告中高瞻遠(yuǎn)矚，抓住了二十世紀(jì)物理學(xué)的最主要的思想：三個(gè)主旋律及其發(fā)展、變奏和交織。全場(chǎng)聽(tīng)眾屏息凝神，陶醉在這位關(guān)鍵性的參與者對(duì)這個(gè)偉大事業(yè)的充滿感情的描述。楊先生的三個(gè)主旋律的說(shuō)法真是再貼切不過(guò)了。從楊先生的演講中，我們可以生動(dòng)感受到物理學(xué)是怎么被充滿個(gè)性的大師們創(chuàng)作出來(lái)的，聯(lián)想到作曲家譜寫(xiě)交響樂(lè)。事實(shí)上，對(duì)于科學(xué)研究中的風(fēng)格和品位，楊先生曾有過(guò)很多闡述（見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]和[3]）。楊先生自己就是物理學(xué)史上一位偉大的風(fēng)格大師。楊先生與三個(gè)主旋律的譜寫(xiě)者交往密切，而那些大師又離十九世紀(jì)的經(jīng)典物理學(xué)家很近。我真切地感到，物理學(xué)的偉大發(fā)展及其帶來(lái)的人類文明的巨大進(jìn)步是在多么短的時(shí)間里完成的！真是很精彩！

　　　　楊先生報(bào)告后，全場(chǎng)熱烈的掌聲經(jīng)久不息。我想，這不僅是因?yàn)闂钕壬倪@個(gè)報(bào)告的成功，更是因?yàn)闂钕壬谖锢韺W(xué)上的偉大成功，以及深刻的歷史洞察力和科學(xué)美鑒賞力。

　　　　而楊先生對(duì)二十世紀(jì)物理學(xué)主旋律的總結(jié)，不僅是在這個(gè)報(bào)告中，更是體現(xiàn)在物理學(xué)的實(shí)際發(fā)展中。楊先生集三個(gè)主旋律之大成。楊-米爾斯理論綜合匯集三個(gè)主旋律，是這三個(gè)主旋律的共同高潮，同時(shí)也成為主導(dǎo)后來(lái)的物理發(fā)展的另一個(gè)主旋律。將來(lái)粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型也許會(huì)被替代，但物理學(xué)家們相信，楊-米爾斯理論會(huì)長(zhǎng)期重要下去。順便提一下，楊先生在芝加哥大學(xué)做博士生時(shí)期就開(kāi)始醞釀楊-米爾斯理論的思想（承蒙楊先生厚愛(ài)，筆者曾有幸仔細(xì)研讀過(guò)有關(guān)筆記）。

會(huì)場(chǎng)上掌聲平息后，作為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家的費(fèi)希爾問(wèn)楊先生， 二十一世紀(jì)物理學(xué)是不是主要將在復(fù)雜性上發(fā)展。這是統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理的方向，所以是費(fèi)希爾和安德森關(guān)心的問(wèn)題。楊先生既是高能物理大師又是統(tǒng)計(jì)物理大師，學(xué)術(shù)境界特別崇高，眼光獨(dú)特開(kāi)闊，不存在高能物理學(xué)家與統(tǒng)計(jì)和凝聚態(tài)物理學(xué)家之間爭(zhēng)論哪個(gè)更重要的問(wèn)題。對(duì)于費(fèi)希爾的不舍追問(wèn)，楊先生給了一個(gè)不完全贊同，但以某種形式有所肯定的回答。安德森當(dāng)時(shí)高興地舉起抱拳的雙手。我注意到，安德森似乎常常認(rèn)為并不滿于其他一些高能物理學(xué)家有一種傲慢，卻曾經(jīng)在一次關(guān)于科學(xué)美的演講中，特別提到規(guī)范場(chǎng)論，并且特別推崇楊先生在“楊振寧論文選集”（即參考文獻(xiàn)[2]）中的評(píng)述。

　　　　以上是對(duì)楊先生的巴黎報(bào)告的記述。當(dāng)時(shí)我受聘于英國(guó)劍橋大學(xué)，是大會(huì)的普通參加者。在劍橋的幾年中，我在大多數(shù)的日子里都要走過(guò)陳列在卡文迪許(Cavendish)實(shí)驗(yàn)室里的首任主任麥克斯韋(J.C. Maxwell，1831-1879)的實(shí)驗(yàn)儀器和辦公桌，這時(shí)我會(huì)經(jīng)常想起不朽的麥克斯韋方程，以及同樣不朽的楊-米爾斯方程，因?yàn)楹笳呤乔罢叩姆前⒇悹柾茝V，或者說(shuō)前者是后者的阿貝爾特例。2003至2004學(xué)年，我在美國(guó)伊利諾伊大學(xué)。2003年12月23日，楊先生在一個(gè)電子郵件中說(shuō)他24日要回清華定居，并將他寫(xiě)的一首詩(shī)傳真給我。這首詩(shī)就是“歸根”詩(shī)。我非常榮幸收到的是一個(gè)打印于2003年12月3日、并注明“二OO三年十一月定稿”的豎行打印稿。單從打印的工整就可以看出作者的認(rèn)真、樸實(shí)和即將歸根的心情。作為一名喜愛(ài)物理學(xué)史的中國(guó)青年物理學(xué)工作者，我覺(jué)得楊先生從美國(guó)搬到中國(guó)與當(dāng)年愛(ài)因斯坦從歐洲搬到美國(guó)這兩件事在某些方面可以相比，而我收到和研讀這首含義極其豐富的詩(shī)的心情是很激動(dòng)的。“歸根”詩(shī)曰：“昔負(fù)千尋質(zhì)，高臨九仞峰。深究對(duì)稱意，膽識(shí)云霄沖。神州新天換，故園使命重。學(xué)子凌云志，我當(dāng)指路松。千古三旋律，循循談笑中。耄耋新事業(yè)，東籬歸根翁。” 詩(shī)后注釋道：“二OO二年我在巴黎的一個(gè)演講題目是：‘二十世紀(jì)理論物理的三個(gè)主題旋律：量子化，對(duì)稱與相位因子’”。

　　　　致謝：非常感謝楊振寧教授的珍貴指教以及對(duì)行文的有益評(píng)論。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1] C. N. Yang, “Thematic melodies of Twentieth century theoretical physics: quantization, symmetry and phase factor”, International Journal of Modern Physics A,Vol.18,No.19 (2003) 3263-3272.

　　[2] C.N.Yang,“Selected Papers，1945-1980，with Commentary”(W.H.Freeman and Company,1983).

　　[3] “楊振寧文集”上下冊(cè) (華東師范大學(xué)出版社，1998).

保守的革命者——在楊振寧榮休晚宴上的講話詞

戴森（Dyson）

（普林斯頓高等學(xué)術(shù)研究所）

　　我很高興有這個(gè)機(jī)會(huì)來(lái)稱頌我的老朋友和老同事富蘭克·楊。我的題目是‘保守 的革命者’。這題目的涵義將在講詞末彰顯。

　　1983 年富蘭克為慶祝他的六十歲生日出版了‘文選（1945－1980）附評(píng) 注’。這是我最喜愛(ài)的書(shū)之一。書(shū)中的評(píng)注是他自己寫(xiě)的，用來(lái)解述各篇文章寫(xiě)作 時(shí)的情景。書(shū)里只收了他的文章的三分之一，是他自己選擇的。這樣做比由一個(gè)專 家委員會(huì)來(lái)挑選更能揭示他自己的思路和性格。所選的文章中有些是重要的，有些 是不重要的。有些是專業(yè)的，有些是通俗的。可是每一篇都是瑰寶。他不是試圖在 五百頁(yè)中塞進(jìn)盡量多的、艱深的科學(xué)。他是試圖在五百頁(yè)中揭示一位偉大科學(xué)家的 精神，而做得十分成功。他選的這些文章既揭示了他個(gè)人的奮斗，也揭示了他的科 學(xué)成就。它們揭示了他的成就的深遠(yuǎn)的源泉，揭示了他對(duì)培育他的中國(guó)文化的驕 傲，也揭示了他對(duì)在中國(guó)和在美國(guó)的老師們的崇敬。它們還揭示了他對(duì)數(shù)學(xué)形式美 的熱愛(ài)和同時(shí)掌握繽紛的實(shí)驗(yàn)物理世界和抽象的群論與纖維叢世界的能力。他巧妙 地將八十頁(yè)的評(píng)注結(jié)集一起放在書(shū)的開(kāi)始部分，而不是將它們附在各篇文章的后 面。這樣，評(píng)注可以連續(xù)地讀，成了他的科學(xué)自傳，一部極好的自傳。它以清楚而 簡(jiǎn)練的詞句描述了他的一生。它樸實(shí)地描述了他的工作背后的強(qiáng)烈的感情和始終不 渝的忠誠(chéng)。換言之，它描述了楊振寧之所以成為楊振寧。

　　書(shū)中最短的又最精彩的瑰寶之一是一篇兩頁(yè)長(zhǎng)的，對(duì)費(fèi)米的描述。它是作為費(fèi) 米和他合寫(xiě)的一篇文章的序言，曾收錄在費(fèi)米的選集中。從 1946 年到 1949 年， 富蘭克師從費(fèi)米。他從費(fèi)米那里學(xué)到的物理比從任何其他人那里學(xué)到的為多。費(fèi)米 思考的方法在富蘭克的思想中留下了無(wú)法磨滅的影響。他寫(xiě)道：‘我們懂得了，學(xué) 物理不應(yīng)該只狹窄地學(xué)一個(gè)專業(yè)。學(xué)物理應(yīng)該從平地開(kāi)始，一塊磚一塊磚地砌，一 層一層地加高。我們懂得了，抽象化應(yīng)在具體的基礎(chǔ)工作之后，而絕非在它之 前。’

　　費(fèi)米崇高實(shí)際的精神可以從 1954 年發(fā)表的楊－米爾斯這篇卓越的文章題目中 看到。今天任何一位談到這篇文章的人，都會(huì)將它稱為是引入非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的文 章。可是它的題目并沒(méi)有提到非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)。文章的題目是‘同位旋守恒與同位 旋規(guī)范不變性’。如何了解同位旋守恒這個(gè)物理問(wèn)題出現(xiàn)在先，而抽象數(shù)學(xué)觀念非 阿貝爾規(guī)范場(chǎng)出現(xiàn)在后。這是費(fèi)米處理這類問(wèn)題會(huì)用的方式，也是富蘭克處理這個(gè) 問(wèn)題所用的方式。費(fèi)米的偉大在于他既懂得如何計(jì)算，又懂得如何傾聽(tīng)自然的聲 音。在其一生中，富蘭克均衡的處理了他的抽象數(shù)學(xué)的天才和費(fèi)米對(duì)于物理細(xì)節(jié)的 腳踏實(shí)地的關(guān)注。

　　請(qǐng)?jiān)试S我在這里簡(jiǎn)短的講一個(gè)和這個(gè)講話的主題無(wú)關(guān)的，有關(guān)費(fèi)米的故事，它 和富蘭克毫無(wú)關(guān)系。我不是費(fèi)米的學(xué)生，但我有幸在我學(xué)術(shù)生涯中關(guān)鍵的時(shí)刻和費(fèi) 米談了二十分鐘。我從費(fèi)米這二十分鐘中學(xué)到的比我從奧本海默（Oppenheimer） 二十年中學(xué)到的還多。1952 年我以為我有了一個(gè)強(qiáng)相互作用的好理論，組織了一 大批康奈爾大學(xué)的學(xué)生和博士后，按照這個(gè)理論來(lái)計(jì)算介子－質(zhì)子之散射。我們運(yùn) 算的結(jié)果和費(fèi)米在芝加哥回旋加速器上量到的截面符合得很好。于是我得意的從依 色卡去芝加哥給費(fèi)米看我們的結(jié)果。費(fèi)米很客氣和友好，但我們的結(jié)果并沒(méi)有引起 他的興趣。他說(shuō)：‘計(jì)算的途徑有兩種。第一種，是我所愿意采用的，是先有一幅 清晰的物理圖象。第二種是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)架構(gòu)。你的則兩種都不是。’這既結(jié)束了他 和我的對(duì)話，也終結(jié)了我們的理論。以后我們弄清楚了，由于沒(méi)有將矢量相互作用 考慮在內(nèi)，我們的理論不可能是正確的，而費(fèi)米直覺(jué)地看出了這個(gè)理論必然是錯(cuò)誤 的。在這二十分鐘里，他的腳踏實(shí)地的見(jiàn)識(shí)省掉了我們的無(wú)謂的計(jì)算。這個(gè)教訓(xùn)富 蘭克是無(wú)需要學(xué)習(xí)的，因?yàn)楫?dāng)他在芝加哥做學(xué)生時(shí)，已經(jīng)充分吸取了費(fèi)米的見(jiàn)識(shí)。

　　在選集發(fā)表后的十五年中，富蘭克沒(méi)有閑著。1995 年另一本書(shū)出版了，不是 他自己而是他的朋友們寫(xiě)的，是慶祝他七十歲生日的文集。書(shū)的題目是‘楊振寧 ──二十世紀(jì)一位偉大的物理學(xué)家’。隱藏在書(shū)中的專業(yè)文章里，有一些個(gè)人的頌 贊和回憶。它們描述了富蘭克如何積極幫助科學(xué)在三個(gè)中國(guó)社會(huì)──中華人民共和 國(guó)、臺(tái)灣和香港的成長(zhǎng)和繁榮。富蘭克很高興能夠償還他所欠他的故土和文化的 債。

　　這兩本書(shū)中都沒(méi)有收入的是富蘭克兩年前寫(xiě)的題為‘父親和我’一文。這是獻(xiàn) 給他的父親，一位 1973 年去世的數(shù)學(xué)教授的文章。它極精彩而微妙地描述了他和 父親的關(guān)系，以及分離給二人帶來(lái)的痛苦。他的父親在艱難的歲月里留在中國(guó)，而 就在這段時(shí)間中富蘭克在美國(guó)成長(zhǎng)為名家。他們都知道還是這樣好：沒(méi)有美國(guó)，富 蘭克不會(huì)成為一位世界級(jí)的科學(xué)家；不住在祖國(guó)，他的父親將成為無(wú)根之木。然而 分離也深深地傷害了兩人。對(duì)富蘭克來(lái)說(shuō)，他個(gè)人和父親的分離，同美國(guó)和中國(guó)在 政治上的隔絕是一場(chǎng)悲劇的兩面。很幸運(yùn)，尼克松總統(tǒng)適時(shí)地決定承認(rèn)中華人民共 和國(guó)。因此，富蘭克能夠在他父親去世以前訪問(wèn)中國(guó)，能夠在他父親病危時(shí)坐在他 的床邊。在選集的評(píng)注中，富蘭克描述了他在 1964 年如何困難地作出成為美國(guó)公 民的決定。這決定正式承認(rèn)了他脫離中國(guó)，脫離他的父親。他寫(xiě)道：‘我父親…… 1928 年在芝加哥大學(xué)獲得博士學(xué)位。他游歷甚廣。但我知道，直到臨終前，對(duì)于 我的放棄故國(guó)，他在心底里的一角始終沒(méi)有寬恕過(guò)我。’

　　‘父親和我’有一個(gè)快樂(lè)的結(jié)尾，一個(gè)光輝的重圓。富蘭克描述 1997 年 7 月 1 日清晨零時(shí)，他站在香港會(huì)議展覽中心，凝視著英國(guó)國(guó)旗緩緩下降，中國(guó)國(guó) 旗緩緩上升，樂(lè)隊(duì)奏著‘起來(lái)，不愿做奴隸的人們’，他寫(xiě)道：‘父親如果能目睹 這歷史性的，象征中華民族復(fù)興的儀式，一定比我還要激動(dòng)。……他們那一輩的中 國(guó)知識(shí)分子，目睹洋人在租界中的專橫，……說(shuō)不完的外人欺凌……他們是多么盼 望有一天能看到站起來(lái)了的富強(qiáng)的中國(guó)，能看到大英帝國(guó)落旗退兵，能看到中國(guó)國(guó) 旗驕傲地向全世界宣稱：這是中國(guó)的土地。這一天，1997 年 7 月 1 日，正是他 們一生夢(mèng)寐以求的一天。’

　　富蘭克那夜站在那里，他的，和他父親的，對(duì)重圓的深層感觸是使我們動(dòng)心 的。而對(duì)我，他所表達(dá)的驕傲和滿足的心情，特別引起了共鳴。我也屬于一個(gè)偉大 而古老的文明。我在英國(guó)的故鄉(xiāng)也是 Alfred 這位學(xué)者國(guó)王的故鄉(xiāng)。一千一百年 前，當(dāng)唐朝在中國(guó)建立了在中國(guó)持續(xù)千年之久的科舉制度時(shí)，Alfred 將我的故鄉(xiāng) 變?yōu)橐粋€(gè)卓越的學(xué)問(wèn)中心。我們的 Alfred 國(guó)王將拉丁文典籍譯成英文，和唐朝詩(shī) 人差不多同時(shí)代。富蘭克在他的選集前面引用了杜甫的詩(shī)句：‘文章千古事，得失 寸心知’。

　　和富蘭克一樣，我也離開(kāi)了故土，成為美國(guó)公民。我仍記得我在 Trenton 受 到的屈辱。那一天我宣誓忠于美國(guó)，主持儀式的無(wú)知先生祝賀我逃離了奴隸之鄉(xiāng)來(lái) 到了自由之邦。我好不容易才忍住了沒(méi)有大叫，我的祖輩們解放我們的奴隸比他們 的祖輩們解放他們的奴隸要早得多。我和富蘭克對(duì)美國(guó)有同樣的矛盾的感情。這個(gè) 國(guó)家對(duì)我們兩人都如此的慷慨，可是對(duì)我們的古老的文明又如此不了解。我也感受 了他在香港親睹和平地降下英國(guó)國(guó)旗，升起中國(guó)國(guó)旗時(shí)的驕傲。在那一瞬間我們這 兩國(guó)古老的文明短暫地走在一道，催生了一個(gè)嶄新的事物。

　　五年前我很榮幸在費(fèi)城美國(guó)哲學(xué)學(xué)會(huì)授予他富蘭克林獎(jiǎng)?wù)碌膬x式上講話。我們 聚集在學(xué)會(huì)的有歷史意義的會(huì)議室中。學(xué)會(huì)創(chuàng)始人富蘭克林和學(xué)會(huì)最活躍的成員之 一杰弗遜的畫(huà)像俯視著我們。我們知道他將他的大兒子取名為富蘭克林，因?yàn)樗麑?duì) 富蘭克林特別崇敬。我愿用我在那個(gè)愉快場(chǎng)合稱頌富蘭克的話來(lái)結(jié)束今天的講話。

　　楊教授是繼愛(ài)因斯坦和狄拉克之后，二十世紀(jì)物理學(xué)的卓越的設(shè)計(jì)師。從當(dāng)年 在中國(guó)當(dāng)學(xué)生到以后成為石溪的哲人，引導(dǎo)他的思考的一直是他對(duì)精確分析和數(shù)學(xué) 形式美的熱愛(ài)。這種熱愛(ài)導(dǎo)致了他對(duì)物理學(xué)最深遠(yuǎn)的和最有創(chuàng)見(jiàn)的貢獻(xiàn)──和米爾 斯發(fā)現(xiàn)的非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)。隨著時(shí)間的推移，他所發(fā)現(xiàn)的非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)已漸漸成 為比宇稱不守恒更美妙更重要的貢獻(xiàn)。后者使他得到了諾貝爾獎(jiǎng)。發(fā)現(xiàn)宇稱不守 恒，發(fā)現(xiàn)左手和右手手套并不在各方面都對(duì)稱，是一項(xiàng)了不起的破壞行動(dòng)，它摧毀 了在前進(jìn)道路上的思維障礙。與之相反，非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)奠定了新的思維結(jié)構(gòu)的基 石，這個(gè)結(jié)構(gòu)以后經(jīng)過(guò)三十年才建立起來(lái)。今天當(dāng)代理論描述的，并為當(dāng)代實(shí)驗(yàn)證 實(shí)了的物質(zhì)的本質(zhì)，是各種非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的組合。他們?yōu)闂钤谒氖迥昵笆紫炔?測(cè)到的數(shù)學(xué)對(duì)稱性所支配。

　　和重建城市以及國(guó)際政治一樣，在科學(xué)中摧毀一個(gè)老的結(jié)構(gòu)比建立一個(gè)持久的 新結(jié)構(gòu)容易。革命領(lǐng)袖可以分為兩類：像羅伯斯庇爾和列寧，他們摧毀的比創(chuàng)建的 為多；像富蘭克林和華盛頓，他們建立的比摧毀的為多。無(wú)疑，楊是屬于后一類的 革命者。他是一位保守的革命者。和富蘭克林和華盛頓一樣，他愛(ài)護(hù)過(guò)去，盡可能 少摧毀它。他對(duì)西方科學(xué)的杰出思維傳統(tǒng)和對(duì)中國(guó)祖先的杰出文化傳統(tǒng)同樣崇敬。

　　楊喜歡引用愛(ài)因斯坦的話：‘創(chuàng)造的源泉在于數(shù)學(xué)，因此，從某個(gè)意義上講， 我認(rèn)為，純思維可以掌握現(xiàn)實(shí)，像古人所夢(mèng)想的那樣。’在另一場(chǎng)合，楊講道： ‘乍聽(tīng)起來(lái)，一個(gè)人的愛(ài)憎和風(fēng)格竟與他對(duì)物理學(xué)的貢獻(xiàn)有如此密切關(guān)系，也許會(huì) 令人感到奇怪，因?yàn)槲锢韺W(xué)一般人認(rèn)為是一門(mén)客觀地研究物質(zhì)世界的學(xué)問(wèn)。然而， 物質(zhì)世界具有結(jié)構(gòu)，而一個(gè)人對(duì)這些結(jié)構(gòu)的洞察力，對(duì)這些結(jié)構(gòu)的某些特點(diǎn)的喜 愛(ài)，某些特點(diǎn)的憎厭，正是他形成自己風(fēng)格的要素。因此，愛(ài)憎和風(fēng)格之于科學(xué)研 究，就像他們對(duì)文學(xué)、藝術(shù)和音樂(lè)一樣至關(guān)重要，這其實(shí)并不是稀奇的事情。’楊 對(duì)數(shù)學(xué)美的感受，照亮了他所有的工作。它使得他的相對(duì)最不重要的計(jì)算成為袖珍 的藝術(shù)品，使得他的深入的猜測(cè)成為杰作。它使他，正如使愛(ài)因斯坦和狄拉克一 樣，對(duì)自然的神秘能夠比別人看得更遠(yuǎn)一點(diǎn)。 ───────────────

* 這是在楊振寧榮休晚宴上的講話詞，一九九九年五月廿二日于紐約州石溪

楊振寧的生平和時(shí)代
一位諾貝爾獎(jiǎng)得獎(jiǎng)人回顧在物理學(xué)和數(shù)學(xué)十字路口度過(guò)的一生

Earl Lane作，范世藩、楊振玉 譯

　　人們贊揚(yáng)在理論物理前沿度過(guò)了半個(gè)世紀(jì)的諾貝爾獎(jiǎng)得獎(jiǎng)人楊振 寧是一位堅(jiān)韌不拔、具數(shù)學(xué)天才的科學(xué)家。他致力于揭示自然的對(duì)稱 性，而這些對(duì)稱性常常是隱藏在雜亂的實(shí)驗(yàn)物理結(jié)果的后面。

　　七十七歲的楊振寧剛剛退休，他在晚年依然令人敬畏，不怕向當(dāng) 代流行的思潮挑戰(zhàn)，清醒地意識(shí)到面對(duì)復(fù)雜的宇宙，人們的才智的局 限性。他的許多同事都在談?wù)撜业揭粋€(gè)“解釋一切的理論”的可能性。 即一個(gè)描述宇宙中所有的作用力和基本粒子的統(tǒng)一的理論。楊振寧曾 為物理學(xué)家提供了從事這種探索所需的一些重要的數(shù)學(xué)工具，可是他 卻對(duì)這種可能性深感懷疑。

　　“我想‘解釋一切的理論’是一個(gè)不好的命題。我不相信有人能 觸及解釋一切的理論。自然是非常奇妙的，它的深?yuàn)W無(wú)人能探測(cè)。我 們就算有上千億個(gè)神經(jīng)細(xì)胞，又怎么能和自然的無(wú)限深?yuàn)W相比呢？” 新近在紐約州立大學(xué)石溪校區(qū)楊振寧的辦公室的一次采訪中他這樣說(shuō)。 他繼續(xù)說(shuō)：“聽(tīng)起來(lái)我好像是篤信宗教的。我不信宗教。可是當(dāng)你觸 及這樣基本的問(wèn)題時(shí)，確是很接近宗教。這不是形式的宗教。可是在 發(fā)現(xiàn)宇宙的某些基本結(jié)構(gòu)時(shí)的驚嘆和畏懼甚至比形式的宗教還更宗教 一些。”

　　楊振寧長(zhǎng)時(shí)期在看來(lái)是神秘的物理學(xué)和數(shù)學(xué)的十字路口工作。在 這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，一組漂亮的方程式可以是靈感的源泉，甚至可以在還沒(méi) 有實(shí)驗(yàn)證據(jù)以前就洞察物理世界是怎樣運(yùn)轉(zhuǎn)的。這是一個(gè)外行很難懂 的世界，其中有充滿了希臘字母的方程式的黑板，有尋求用數(shù)學(xué)去解 決問(wèn)題的“品味”和“風(fēng)格”，有尋求用正確語(yǔ)言來(lái)描述物理世界的 出自內(nèi)心的靈感。

　　物理學(xué)家戴森（Dyson）去年在石溪為楊振寧退休所舉行的學(xué)術(shù)討 論會(huì)上說(shuō)：“楊振寧對(duì)數(shù)學(xué)的美妙的品味照耀著他所有的工作。它使 他的不是那么重要的工作成為精致的藝術(shù)品，使他的深?yuàn)W的推測(cè)成為 杰作。”這使得他“對(duì)于自然神秘的結(jié)構(gòu)比別人看得更深遠(yuǎn)一些”。

　　楊振寧已有華發(fā)，可是看起來(lái)比他的實(shí)際年齡年輕得多。他仍穿 梭于紐約和遠(yuǎn)東之間。他和香港以及北京的大學(xué)有密切的聯(lián)系，并且 是設(shè)在南朝鮮漢城的一個(gè)理論物理中心的主席。

　　在關(guān)于他的生活和時(shí)代的一次廣泛的談話中，楊振寧談到他的物 理學(xué)生涯，談到他沒(méi)有能從事某些領(lǐng)域的研究而感到的遺憾。他推測(cè) 下幾十年占主導(dǎo)地位的將是生物學(xué)和應(yīng)用物理學(xué)而不是對(duì)物質(zhì)基本結(jié) 構(gòu)的研究。

　　楊振寧也談到他在中國(guó)童年和他長(zhǎng)時(shí)間為溝通美國(guó)和自己的祖國(guó) 在科學(xué)和文化方面的差異所作的努力。楊振寧談到他擔(dān)心中美關(guān)系的 裂痕會(huì)擴(kuò)大，以及由于新近對(duì)臺(tái)灣出生的物理學(xué)家李文和間諜活動(dòng)嫌 疑的調(diào)查，將為亞洲和亞裔美國(guó)科學(xué)家?guī)?lái)的困難。楊振寧說(shuō)：“我 很擔(dān)心，如果中美關(guān)系繼續(xù)沿著過(guò)去五、六年的趨勢(shì)發(fā)展下去，將會(huì) 是一場(chǎng)災(zāi)難。”1971年中美關(guān)系開(kāi)始解凍，楊振寧自1945年到美國(guó)來(lái) 當(dāng)研究生以后第一次回到中國(guó)大陸。他會(huì)見(jiàn)了已故的周恩來(lái)和中國(guó)的 其他領(lǐng)導(dǎo)人，幫助開(kāi)展了兩國(guó)之間的科學(xué)合作。他擔(dān)心這些合作將面 臨危險(xiǎn)。

　　那時(shí)候，當(dāng)他從國(guó)外旅行回來(lái)后，聯(lián)邦調(diào)查局和中央情報(bào)局的人 員常常去找他。中央情報(bào)局的官員第一次去找楊振寧時(shí)楊要讓他的秘 書(shū)記錄他們的談話，以免誤解。楊振寧繼續(xù)保持和中國(guó)的密切聯(lián)系， 他說(shuō)：“聯(lián)邦調(diào)查局和中央情報(bào)局近來(lái)沒(méi)有再來(lái)找我的麻煩。”

　　楊振寧最關(guān)心的是科學(xué)而不是政治。他談到自己的一些經(jīng)歷：一 個(gè)從中國(guó)偏僻地區(qū)一個(gè)落后的城市來(lái)的年輕學(xué)生，怎么會(huì)有幸參與二 十世紀(jì)一個(gè)最主要的思想革命。這場(chǎng)革命是試圖用一個(gè)統(tǒng)一的方法來(lái) 了解自然的無(wú)窮多樣性，從混沌的星球爆炸到電子環(huán)繞原子核的顫動(dòng)。

　　如楊振寧所說(shuō)的，這是一個(gè)由像愛(ài)因斯坦那樣的巨人建立起來(lái)的 輝煌事業(yè)。愛(ài)因斯坦曾是瑞士專利局的一位辦事員，他在1905年寫(xiě)出 了《狹義相對(duì)論》。它闡明物質(zhì)和能量是等價(jià)的和沒(méi)有東西的運(yùn)動(dòng)速 度可以超過(guò)光速。十年以后，愛(ài)因斯坦在他的《廣義相對(duì)論》用幾何 學(xué)將重力描述為包在客體的空間—時(shí)間域中的外衣。其他巨人如狄拉 克（Dirac）、薛定諤（Schrōdinger）和海森伯（Heiscnberg）在二 十年代根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出了量子力學(xué)。它用稱為量子的、分立的能量 束來(lái)描述原子王國(guó)，并提出了測(cè)不準(zhǔn)原理，即對(duì)一個(gè)粒子的位置量度 得愈精確，那么對(duì)它的速度的量度就愈不精確（反之亦然）。量子理 論將基本粒子看作是兼具波動(dòng)性和粒子性的。雖然愛(ài)因斯坦一生都被 量子理論中的測(cè)不準(zhǔn)原理所困擾，可是經(jīng)過(guò)這么些年，已經(jīng)證明量子 理論有非常強(qiáng)的活力。

　　在這個(gè)背景下，一些科學(xué)家認(rèn)為楊振寧是二十世紀(jì)后半葉最有影 響的理論物理學(xué)家之一。像愛(ài)因斯坦一樣，他孜孜不倦地探索如何用 幾何學(xué)來(lái)描述物理世界。他也很注意抽象的對(duì)稱概念，它們可以揭示 自然界中的新現(xiàn)象。

　　1956年楊振寧第一次出名。那一年他和李政道共同發(fā)表了一篇文 章，推翻了物理學(xué)的中心信息之一——宇稱守恒（基本粒子和它們的 鏡象的表現(xiàn)是完全相同的）。因?yàn)檫@個(gè)工作，兩人獲得了1957年的諾 貝爾獎(jiǎng)。

　　從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，1954年楊振寧和已故的米爾斯（Mills）的開(kāi)拓性的 工作卻更為重要。那一年，兩人都在布洛克海文國(guó)立實(shí)驗(yàn)室工作。他 們提出了一個(gè)稱為非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的理論結(jié)構(gòu)。以后證明它是以統(tǒng)一 的方式描述作用力和基本粒子的關(guān)鍵。布洛克海文的一位理論物理學(xué) 家馬奇努（Marciano）說(shuō)：“當(dāng)它在1954年寫(xiě)成時(shí)，爭(zhēng)論極大。一些 人認(rèn)為它和物理世界無(wú)關(guān)。”當(dāng)時(shí)，楊和米爾斯沒(méi)有繼續(xù)發(fā)展下去。 可是以后證明，這個(gè)以微分幾何和纖維叢這樣的抽象世界中抽提出來(lái) 的數(shù)學(xué)，正是為描述像磁、電、強(qiáng)核力，也許還有重大相互作用中， 中界作用力的粒子交換所。戴森講道：“我要說(shuō)，在楊振寧的工作中 最最重要的是規(guī)范場(chǎng)。已經(jīng)證明這比他和李政道關(guān)于宇稱的工作要重 要得多。”

　　楊振寧和李政道的關(guān)系變得愈來(lái)愈緊張，兩人在1962年分手。楊 振寧拒絕談?wù)撌鞘裁丛蚴沟盟麄兊年P(guān)系變得緊張的。他說(shuō)：“這是 我生命中令我非常失望的一件事情。我要說(shuō)，這是一個(gè)悲劇。”他們 兩人已經(jīng)有幾十年沒(méi)有講話了。

　　他們兩位的同事說(shuō)道，無(wú)法猜測(cè)如果他們兩人繼續(xù)合作下去，會(huì) 有多大的成就。楊振寧本人推測(cè)，他們可能參與弱相互作用力的研究， 這是一個(gè)描述放射性衰變和電磁作用力的統(tǒng)一的數(shù)學(xué)架構(gòu)。溫伯格 （Weinberg）、薩拉姆（Salam）和格拉蕭（Glashow）在1979年就因 為“電弱”理論得了諾貝爾獎(jiǎng)。

　　楊振寧扎根于數(shù)學(xué)，但是他指出，自己一生的工作不是脫離現(xiàn)實(shí) 世界的形而上學(xué)的游戲。四十年代后期他剛?cè)ブゼ痈绱髮W(xué)研究院時(shí)曾 打算成為實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家。可是他很快就了解自己的動(dòng)手能力很差。實(shí) 驗(yàn)室的同事們開(kāi)玩笑道：“哪里出爆，那里就有楊振寧。”

　　楊振寧對(duì)于他早年從事過(guò)的實(shí)驗(yàn)物理一直沒(méi)有忘懷。不過(guò)當(dāng)他轉(zhuǎn) 向理論物理后，他所需要的工具只是鉛筆和筆記本。曾任布洛克海文 國(guó)立實(shí)驗(yàn)室主任的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家薩奧斯（Samios）說(shuō)：“楊振寧是一 位極具數(shù)學(xué)頭腦的人，然而由于早年的學(xué)歷，他對(duì)實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)非常有興 趣。他喜歡和實(shí)驗(yàn)學(xué)家們交談，對(duì)于優(yōu)美的實(shí)驗(yàn)極為欣賞。”

　　對(duì)于像楊振寧這樣的理論物理學(xué)家，在揭示自然界的結(jié)構(gòu)時(shí)，數(shù) 學(xué)和實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)同樣重要。楊振寧說(shuō)：“愛(ài)因斯坦《廣義相 對(duì)論》是一個(gè)非常優(yōu)美和深?yuàn)W的創(chuàng)作”，它不是根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出來(lái) 的。愛(ài)因斯坦直覺(jué)地想到，物體在宇宙中受到重力的拽拉，可以看作 是周圍時(shí)—空結(jié)構(gòu)的彎曲。他用已有的黎曼幾何來(lái)描述他的新理論。 后來(lái)，星球發(fā)出的光線接近太陽(yáng)時(shí)因重力而彎曲的實(shí)驗(yàn)，證明愛(ài)因斯 坦是對(duì)的。

　　對(duì)于物理學(xué)家最大的挑戰(zhàn)，依然是提出一個(gè)統(tǒng)一的理論，它既適 用于以重力為主的極大王國(guó)，又適用于由量子所主宰的極小王國(guó)。物 理學(xué)家在七十年代已經(jīng)在這方面獲得進(jìn)展。他們提出一個(gè)稱為標(biāo)準(zhǔn)模 型的理論。這個(gè)理論有兩條腿：溫伯格、薩拉姆和格拉蕭的“電弱” 理論和“量子色動(dòng)力學(xué)”。后者描述把粒子的基本構(gòu)件——夸克束縛 的質(zhì)子和中子內(nèi)的各種作用力。這兩條腿都是由楊和米爾斯所構(gòu)筑的 數(shù)學(xué)架引伸出來(lái)的。可是標(biāo)準(zhǔn)模型并沒(méi)有將重力考慮在內(nèi)。

　　目前，弦線理論可能可以克服這個(gè)缺點(diǎn)。這個(gè)理論假定存在微小 的一維弦線，它的不同的振動(dòng)方式可以解釋所有的基本粒子和包括重 力在內(nèi)的作用力。這個(gè)理論經(jīng)過(guò)修改后要求十或十一維時(shí)—空，而不 是我們熟悉的四維時(shí)空，即時(shí)間這一維加上立體幾何的三維。弦線理 論提出來(lái)已經(jīng)二十多年，它在年輕的理論物理學(xué)家中很流行。可是楊 振寧在晚年時(shí)是不同意這個(gè)理論的。正像愛(ài)因斯坦對(duì)量子力學(xué)的一些 內(nèi)容有不同的意見(jiàn)，楊振寧懷疑弦線理論或其派生的理論是否能將所 有客觀存在的現(xiàn)實(shí)都放進(jìn)一個(gè)簡(jiǎn)潔的包裝中。

　愛(ài)因斯坦的理論和量子力學(xué)在提出后幾年內(nèi)就都得到了實(shí)驗(yàn)證明。 楊振寧說(shuō)：“弦線理論并沒(méi)有得到實(shí)驗(yàn)證明。它太不定形，太模糊。” 問(wèn)題部分地在于，為探索弦線的影響，需要極高的能量，更強(qiáng)的粒子 加速器。如何寫(xiě)出一個(gè)可以工作的理論，并從事十維計(jì)算也是一個(gè)問(wèn) 題。正如溫伯格新近寫(xiě)的：“我們?cè)趺磿?huì)有這樣的想法呢？我們需要 提出一個(gè)真正是基本的理論，這個(gè)理論是用來(lái)描述一個(gè)世界，在這個(gè) 世界中人們對(duì)于空間—時(shí)間的直覺(jué)都不適用了。”對(duì)于弦線理論是否 正確，溫伯格和另外一些人也許沒(méi)有楊振寧那么悲觀。可是沒(méi)有人低 估它的困難。

　　楊振寧提出物理學(xué)正經(jīng)歷一個(gè)過(guò)渡期。不斷地尋找更快更小的計(jì) 算機(jī)晶片等的應(yīng)用研究，將會(huì)比基礎(chǔ)研究對(duì)年輕人更有吸引力。他說(shuō)： “很清楚，在未來(lái)的三十到五十年中，人們將更注意物理學(xué)的應(yīng)用。 其理由并不是因?yàn)樗械幕締?wèn)題都已經(jīng)解決了，而是因?yàn)楦钊氲?探索物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)變得愈來(lái)愈貴。”他又說(shuō)，1993年國(guó)會(huì)決定中止 建造超導(dǎo)超級(jí)對(duì)撞機(jī)是一個(gè)信號(hào)，高能物理有充裕的經(jīng)費(fèi)的時(shí)代已經(jīng) 結(jié)束了。超導(dǎo)超級(jí)對(duì)撞機(jī)是要在美國(guó)德克薩斯州建造的一個(gè)基本粒子 加速器，它的直徑將達(dá)54哩。

　　楊振寧預(yù)言，計(jì)算機(jī)工業(yè)的實(shí)際需求將會(huì)推動(dòng)界于微觀和宏觀之 間的物理學(xué)的發(fā)展，在比高能物理的亞原子前沿為粗的水平，對(duì)物質(zhì) 進(jìn)行研究。他承認(rèn)許多分析家們?cè)缫杨A(yù)言，二十一世紀(jì)將是生物學(xué)的 世紀(jì)，就像剛剛過(guò)去的二十世紀(jì)被稱為物理學(xué)的世紀(jì)一樣。

　　是什么環(huán)境使楊振寧能在占支配地位和物理學(xué)中起重要作用呢？ 聽(tīng)他自己說(shuō)，在他的成功中，運(yùn)氣和抱負(fù)同樣重要。

　　楊振寧早年處于一個(gè)更像是中世紀(jì)的而不是現(xiàn)代的社會(huì)。他得益 于幸運(yùn)的家庭環(huán)境以及和同事與學(xué)者們的聯(lián)系。這些為他進(jìn)入更廣闊 的知識(shí)和文化世界的旅程鋪平了道路。反過(guò)來(lái)，他正通過(guò)不斷努力在 亞洲建立一流的研究中心為回報(bào)。

　　楊振寧生長(zhǎng)在中國(guó)中部一個(gè)圍有城墻的城市——合肥。當(dāng)時(shí)，這 個(gè)城市的街道是沒(méi)有路面的，城門(mén)很窄，以致三十年代第一部汽車開(kāi) 來(lái)時(shí)無(wú)法通過(guò)。大部分居民是文盲。由于閉塞，楊振寧直到六歲才第 一次看見(jiàn)香蕉。

　　楊振寧的父親是當(dāng)?shù)刂袑W(xué)的數(shù)學(xué)教師。他通過(guò)了一次獎(jiǎng)學(xué)金考試， 得以出國(guó)，去芝加哥大學(xué)讀書(shū)，回國(guó)后在廈門(mén)大學(xué)教書(shū)，以后去了北 京清華大學(xué)。

　　楊振寧本人追隨他父親走上了學(xué)術(shù)道路。他說(shuō)：“我很幸運(yùn)，上 百萬(wàn)和我同年齡的人不是餓死就是面對(duì)軍閥混戰(zhàn)。”他住在北京一個(gè) 學(xué)術(shù)性的社區(qū)內(nèi)，沉浸在一個(gè)重視研究、重視知識(shí)的社區(qū)中。他的父 親很快就發(fā)現(xiàn)兒子有數(shù)學(xué)天才，可是并沒(méi)有直接教他數(shù)學(xué)。楊振寧說(shuō)： “父親的哲學(xué)是‘不要著急’。”在談天時(shí)他偶爾會(huì)向兒子提出數(shù)學(xué) 難題。可是父親也認(rèn)識(shí)到教育需要均衡。在楊振寧念完中學(xué)初一時(shí)， 父親請(qǐng)了一位同事來(lái)教他中國(guó)古文。經(jīng)過(guò)兩個(gè)夏天的緊張學(xué)習(xí)，年輕 的楊振寧能背誦孔子的門(mén)徒孟子的全部著作。

　　1937年日本入侵，楊振寧的父親被迫離開(kāi)北京，在昆明西南聯(lián)合 大學(xué)任教。楊振寧繼續(xù)走好運(yùn)。年輕的楊振寧不久進(jìn)了這所大學(xué)，受 教于一些當(dāng)時(shí)中國(guó)最杰出的科學(xué)家。他們之中有些以后去了美國(guó)，其 中包括陳省身。陳省身現(xiàn)在已經(jīng)從伯克萊加州大學(xué)退休，許多人都認(rèn) 為他是現(xiàn)在活著的最重要的微分幾何學(xué)家。

　　在昆明時(shí)，楊振寧開(kāi)始提高他的英文。他決定不用字典來(lái)念英文 小說(shuō)。他選的第一本小說(shuō)是斯蒂文森的《金銀島》。這部小說(shuō)里有和 大海有關(guān)的俚語(yǔ)，因而很難念。他花了一個(gè)星期，念完了這本書(shū)，接 著念?yuàn)W斯汀的《傲慢與偏見(jiàn)》。在熟讀這兩本書(shū)以后，楊振寧說(shuō)： “以后就容易了。”

　　楊振寧還有去西方世界的另一原因：他對(duì)美國(guó)初期的科學(xué)家兼政 治家富蘭克林很崇敬，富蘭克林的自傳激勵(lì)了楊振寧。去美國(guó)后他取 名為富蘭克，并將第一個(gè)孩子的英文名字取為富蘭克林。

　　1945年楊振寧得到庚子賠款獎(jiǎng)學(xué)金去了美國(guó)。美國(guó)因?yàn)?900年義 和團(tuán)反對(duì)外國(guó)人的起義，從中國(guó)索取了一筆賠款，以后把這筆錢退還 給北京用于教育。普林斯頓大學(xué)接受了楊振寧，可是他要拜才華橫溢 的意大利物理學(xué)家費(fèi)米（Fermi）為師，因此去了芝加哥大學(xué)并在以后 被稱為氫彈之父的泰勒（Teller）的指導(dǎo)下寫(xiě)了博士論文。論文寫(xiě)好 后只有四頁(yè)。泰勒說(shuō)服楊振寧，無(wú)論如何，一篇博士論文只有四頁(yè)總 是太短了，要他加長(zhǎng)。他照辦了，加到了二十三頁(yè)。

　　在物理學(xué)有了卓越的成就以后，他又轉(zhuǎn)向遠(yuǎn)東。楊振寧將把他的 文稿與信件捐贈(zèng)給香港中文大學(xué)而不是給石溪紐約州立大學(xué)。他是中 文大學(xué)的訪問(wèn)教授。楊振寧也沒(méi)有排除他搬回中國(guó)的可能性，因?yàn)榛?去后他和與他結(jié)縭已五十年的妻子杜致禮會(huì)得到更好的照顧。（新近， 致禮在石溪州立大學(xué)的醫(yī)院動(dòng)了三次腫瘤手術(shù)，結(jié)果良好。）

　　楊振寧在長(zhǎng)島還是感到很自在，也不像是要搬到遠(yuǎn)離他的三位已 經(jīng)成年的孩子身邊。他們?nèi)欢家训玫娇茖W(xué)方面的學(xué)位。楊振寧說(shuō)： “他們是美國(guó)人。他們接觸的中國(guó)文化很少。”長(zhǎng)子光諾畢業(yè)于密西 根大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系，現(xiàn)在是紐約州西徹斯特縣的一位財(cái)務(wù)顧問(wèn)。次 子光宇是一位化學(xué)博士，住在紐約城，為J．P．Marg財(cái)務(wù)公司分析化 學(xué)工業(yè)。女兒又禮是蒙太拿州列文斯登縣的一位醫(yī)生。楊振寧在 1964年成為美國(guó)公民。他說(shuō)：“我們?cè)诿绹?guó)過(guò)得很不錯(cuò)。在這里我們 有許多朋友。我們?cè)趦蓚€(gè)社會(huì)中都很自在。”

　　在石溪為他的退休舉行的學(xué)術(shù)討論會(huì)結(jié)束時(shí)，楊振寧談到他在六 十歲時(shí)的一個(gè)“偉大和意義深遠(yuǎn)的發(fā)現(xiàn)”：“生命是有限的”。他念 了九世紀(jì)的一位中國(guó)詩(shī)人李商隱的詩(shī)句：

　　夕陽(yáng)無(wú)限好，

　　只是近黃昏。

　　二十世紀(jì)初，另一位作家，也是楊振寧父親的朋友（譯者注：朱 自清），把這兩行詩(shī)句改為：

　　但得夕陽(yáng)無(wú)限好，

　　何須惆悵近黃昏？

　　在歷經(jīng)一生對(duì)自然的神秘的思考以后，楊振寧認(rèn)為這一改造更精 確地描述了他晚年的想法。

　　（原文載美國(guó)2000年2月1日《Newsday》）

光明日?qǐng)?bào)2000年05月01日

Gauge theories--1. Foreword

Responding to the kind invitation of the Shortriver Scholar, the XYS Chief Scientist and "Mentor in PhD and Postdoc Programmes", I will write a series on gauge theories, the much-touted and much-lauded physical theories of the 20th century and believed to remain the dominant theme in the physics of the 21st century.

Gauge symmetry is a great discovery that revolutinized our understanding of physics, particularly the fundamental interactions of the fields/particles underlying our nature. With this idea, we have an amazingly straightforward "standard model" that unifies electromagnetic, strong and weak forces and all elementary paricles can be packed into a single box perfectly.Some people even believe that the last interaction, i.e., gravity, can be treated in a similar way and all four fundamental interactions can be unified by superstring theory.

In the next few postings, I'll explain the essence of gauge symmetry and its success in particle physics and string theory so that you'll have a grip of the major ideas and achievements of the gauge theories. It will be utterly different from what you have read about the same topic because gauge symmetry will be scrutinized in a hitherto unapproached perspective. Of course, you know it has to be like that, otherwise, why don't I just give you a Wiki link or the webpage of a some physics professor?

After the introduction, I'll explain the problems in current physics theories of fundamental interactions and in passing, I'll expose to you the misbelieves and blind spots of the major players in the field. The major purpose of this series is to point out that gauge symmetry has come to its end. It belongs to the past. New paradigms are emerging and will bloom. To support such a rebellious and hated argument, you know I'll have to devote much to explaining why it is so.

I'm keenly aware that it is an exceptional honor to receive an assignment from Scholar Shortriver, our Chief Scientist at the XYS Insitute. I'll surely do my best to write it well. However,I am not sure how regular my postings will be, but let me try once a week first.

Gauge Theories 2. From Athens 300 BC to Geneva 2011 AD

2.1 Atoms-A Mystery of Two Millenia

Humankind’s serious quest to understand our nature dates back at least to ancient Greece when came out a unique group of people who not merely gazed at the stars in the vast sky or watched the people and things around them but also pondered the reason behind the mystery of those remote objects, conjectured the inner structure of various kinds of matter around them and tested new forms of state management. Along the way, they developed the logic system, axiomatic mathematics, astronomy, physics and democracy among other great achievements. Some of them such as logic, number theory and geometry are taught and practiced today almost in exactly the same way as over 2000 years ago. Ancient Greek civilization is a rare bout of intellectual explosion in the history human evolution. To me it is a huge mystery how they could reach such a highland of intelligence and rationality. We are exceptionally blessed to have such a golden time in our history and should feel eternally grateful for their contributions to the entire humankind. It is a great comfort to see their spirit perpetually planted in our minds and more and more people becoming the spiritual descendants of the ancient Greeks. Of their great achievements, relevant to this series is that they hypothesized the existence of atoms, the tiny, unbroken components of all matter. Different combinations of atoms create different forms and kinds of matter. It is a tremendous simplification of our nature. One can never overestimate the influences of this philosophy on the people who set out to search for the answer to a natural phenomenon. In fact, it has become the most important drive of modern science and technology.

With that said, atomic theory of ancient Greece largely remained a pure speculation for more than 2000 years. Alchemists may protest this assessment, but their contributions are limited to the synthesis of some new compounds only. Fancy and useful these things may be, the significance to the understanding of the structure of matter is null. No substantial progress was made until the age of industrial revolution of 18th-19th century. The indisputable, quantitative evidence of the existence of atoms was provided by a colorblind British, John Dalton. The chemical reactions he performed may be called trivial even in his time, but his capacity of logic inference can only be called genius. In a few years, his theory was warmly accepted and applied by the mainstream of science. A few decades later, a Russian named Dmitri Mendeleev tabulated the elements that had been discovered. The table reveals a hidden, astonishing simplicity, i.e., all elements are somehow related to each other and form a hierarchical family. Elements sharing physical or chemical properties such as density, color, luster, conductivity, reactivity etc can be grouped into rows and columns, called periods and groups, respectively.

It would take the world another over 100 years to have a full understanding of the significance of the periodical table. Indeed, there are still many puzzles about the table today. Mendeleev’s periodical table was accepted almost immediately because new elements that were predicted by his table were found with exactly the same properties as predicted. Unlike the ancient Greek’s atoms, Dalton’s atoms have many kinds, each element having its own atoms. Like ancient Greek’s atoms, Dalton’s atoms are unbroken. This property, however, with the efforts of great scientists such as Svante Arrhenius, James Thompson, was found to be untrue. Atoms do have their own internal structure. The description and explanation of atomic structure are the major tasks of the physicist and chemists of the early 20th century. With a very simple apparatus called cathode ray tube, Thompson discovered electrons and measure its charge/mass ratio. He further built up an atomic model in which the negative and positive charges are more or less uniformly mixed together to form a tiny ‘jelly’. In less than 20 years, this model was overthrown by Ernest Rutherford who proved that there is a tiny but massive nucleus in the atom. His atomic model is like a tiny solar system in which the heavy ‘sun’ is positively charged and the light ‘planets’ are negatively charged. While the stability of our solar system is maintained by the gravitation attraction between the sun and the planets, the stability of the atom is maintained by the electric attraction between the ‘sun’ and the ‘planets’. This model is still used in high school and college textbooks today. Like the solar system where inner planets have lower energies and hard to leave the sun, the electrons closer to the nucleus have lower energies and harder to leave the atom. Unlike the solar system where each planet runs on its own orbit (we never observe a planet make a change of their orbit), the electrons in an atom may make a jump, or transition, i.e., they may change their orbits. When an electron gets extra energy from, e.g., light, that may move to an orbit of higher energy. On the other hand, an electron in the orbit of higher energy may jump ‘down’ to lower orbit by emitting light (photon). With this ‘dynamic planet’ model, the mysterious spectrum can be understood. The answer to questions such as “why does sodium, when burned, emit its characteristic yellow color while magnesium emits a different, bright white color?” becomes obviously clear.

Things looked perfectly simple and fine. People started to give a sigh of relief. The atoms are tiny solar systems and our solar system has many tiny kids or grandkids, isn’t it a beautiful picture? The sensitive reader may see a kind of gauge symmetry here. If we make a scale change, or gauge transformation, our solar system becomes an atom or vice versa. Physical theories work the same way in different scales (gauges). (caution: we know that theories with this kind of gauge symmetry is rare because energy scale and size scale are related to each, that is why we do not see tiny solar systems very often. You see gauge has to have something more than ‘scale’. ).

However, the tiny solar system model, or planets model, was found to be erroneous. As a well-known phenomenon, if a charge has acceleration, it will emit electromagnetic wave and loses energy. For example, the arctic lights are the consequence of charged particles accelerated by the earth’s magnetic field. An electron moving in a circular orbit certainly has acceleration. According to classical electromagnetism, then, an electron has to emit light and lose its energy and finally it would crash into the nucleus. That is to say, the planet model cannot explain why the atoms are stable. Electrons are there moving around the nucleus but they do not lose energy and swirl into the nucleus.

It took about 10 years to solve the problem. To get the answer, a new kind of physics, suitable (and maybe uniquely applicable) in the microscopic scale, was established. It is a rare kind of revolution in science, a revolution that puts giants like Newton, Maxwell and Einstein in an embarrassing situation. That is quantum mechanics. Initially, it was built to answer a very specific, important but not that earth-shaking, question of the stability of atoms, but its consequence is epoch. You may find quantum mechanics book thick and frightening, but it can be summarized into a single, short sentence: quantum mechanics says that the order of making two (hence more) measurements matters. You may get a different result if you change the order of two measurements. It sounds odd, you may say, how does it relate to the question of the stability of atoms? You may also protest, why is it such a big deal? We all know that the order of dating and making love are very important, does that make us a quantum mechanical object?

I think it’s a good time for both you and me to say “給我一個(gè)突破”. See you next week.

2.2. Reality and How to Describe It

Recapping the content of 2.1: Ancient Greeks guessed that all matter consists of tiny, identical, unbroken atoms; Dalton confirmed this idea with quantitative experiments and proposed that different elements have different atoms; Mendeleev discovered that all elements are related to each other; Thompson proved the existence of electrons; Rutherford established the existence of nucleus; A planet model of the atom was proposed that can explain the spectrum but cannot explain the stability of atoms—why a supposedly accelerating electron does not radiate energy and crashed into the nucleus. This puzzle led to the birth of quantum mechanics. We concluded 2.1 by mentioning that the order of making measurements is important, or roughly speaking, the order of doing things is important. Making love before dating and dating before making love may have different consequences as we all know. That’s what quantum mechanics all about, if you think hard enough. Therefore, quantum mechanics is not that outlandish. People talking about it but not understanding it make it sound so. Now let me show you why quantum mechanics is simple and it should be the way our nature operates.

To start, we mention that the new physics in microscopic world was constructed in the 1920s by a group of young people, many of them being German-speaking boys. Old players had become either too exhausted to follow the new ideas or too conservative to make a shift of way of thinking. Max Planck who first proposed the concept of quantum thought that his idea would be swept into the dustbin of history and decided to accept the dismaying reality that his then 20-something quantum theory would be abandoned soon. He neither made any defensive moves nor tried to find a fix. Some people suggested that Planck had lost interest in physics after 1910s because of a series of family tragedies (in 10 years from 1909 to 1919, his wife and three of four children died). Lorentz was too old to attend conferences. Although Niels Bohr has been revered by physicists for his role in the quantum revolutions, his specific contributions to this new physics are either insignificant or defective. Albert Einstein could not catch up with the tide and turned himself into a foul crier. That is the golden time of physics for the young academic proletariats and the nightmare for the establishment. New discoveries come out like avalanches, old men scream in fear and hatred but shrink away swiftly, while young boys engage head-on fights and win one battle after another. To have a feel of how great these kids were, we only need a very short list: in 1924, Louis de Broglie (32) proposed the wave-particle duality; in 1924, Wolfgang Pauli (24) proposed the existence of electron spin and exclusion principle; in 1925, Weiner Heisenberg (24), Pascual Jordan (23) and Max Born (43) proposed the correct mathematical framework of quantum mechanics called matrix mechanics; in 1926, Erwin Schrodinger (39) completed another version of quantum mechanics and solved the spectrum of hydrogen atom; in 1927, Heisenberg (26) published his famous principle of uncertainty; in 1928, Paul Dirac (26) proposed the quantum mechanics that is compatible with relativity theory, i.e., applicable to the cases where speed addition violates the ordinary rule. Dirac’s theory also solved the problem of the origin of electron spin as a consequence of relativity and led to the birth of quantum field theories. In 1930, Dirac (28) published his famous book The Principles of Quantum Mechanics, which laid the solid and concise foundation of quantum mechanics, i.e., quantum mechanics is best expressed with the functional analysis in the Hilbert space, which not only cleaned up the controversies involving Schrodinger’s wave mechanics and Heisenberg’s matrix mechanics, but also provided a consistent and straightforward tool for calculating all kinds of phenomena. In less than 10 years, the pursuit of the answer to a seemingly trivial question of why the revolving electrons in an atom do not radiate energy and crash into the nucleus brought an unprecedented revolution in physics. Let us continue the story of the last posting and explain the essence of quantum mechanics.

Ffirst allow me to murmur a little more about the order of making measurements and along the way I will explain a mysterious trick called “quantization” that has become a standard procedure in all modern physical theories, including quantum gauge theories. In classical physics, we have no trouble with the order of multiplication, e.g., nobody would doubt the legitimacy of p*x = x*p. The whole story of quantum mechanics and its ramifications, or the splendid downfall of classical physics edifice, can be condensed into a short equation: AB may not be equal to BA for two physical quantities. Of course, this is just another way of saying ‘making love before dating is different from dating before making love’. If you have trouble with this equivalence, you need to stop here and think about it for a while. When we have a result on some physical quantity, such as the position or speed or energy, we must have made a measurement on it. An unspoken premise of modern science is that only what you measure counts. One should not utter a single word on something if one has not measured it beforehand. This is the very reason why science is science, not voodoo tricks. You may say, what a big deal is it, “you say nothing about making love with that hot girl if you have not been laid yet”, isn’t it obvious? Yeah, it IS obvious. It IS dumbly obvious. However, it is the mostly unobserved rule of reasoning for the people talking about science, particularly physics. For instance, one may regard the following statement obviously and perfectly valid: “Even if I do not look at the moon, I still can assume the moon is there.” Badly wrong! Logically wrong! When you say the moon is out there, this means you have a measurement result on the moon that shows that the moon is there. Logically, one cannot make such a claim when one has not made a measurement on the moon. If you carefully examine why you believe the moon is still there even if you do not look at it is because you justify your claim based on experience rather than on logic or observation. Empirically, you assume that the moon never disappears. It is always there. However, how true is it? Imagine that we have billions of solar systems. Most of them are just the same as ours, but some of them may be in the stage of being destroyed. Now we have billions of people being asked of such a question: “Is your moon still there even if you do not see it?”, then you can safely say some of them would find their answer being proven wrong immediately—some moons are gone in their solar system because their solar systems are being destroyed. So now you should see that the statement “even if I do not look at the moon, I still can assume the moon is there” is equally absurd as “1+1 may be 3.2.” or “that girl is a great sex partner although I never slept with her.” A terser and more polite way of saying it is: “Shut up if you haven’t done the damn thing!” That is the embodiment of the true spirit of science. Do not be so confident to presume that your gal is not sleeping with other guy when she is not with you!

To extend this logic a little bit further: Reality is a collection of information that you have acquired. Nothing a priori, nothing hypothetical, nothing imagined, may come into the description on reality. This may look not surprising at all and even cliché, but people can easily go awry and cannot adhere to it consistently when confronting a specific practical problem.

What is an electron? Now you know the correct answer: an electron is a physical entity described by a number of observables. More specifically, an electron = mass + charge + spin. That’s all we know about an electron. That’s all we can assume about an electron when we talk about it. Forget about the shape, size, color, spirit. We have none of them.

Back to our dear but pranky atoms. There are electrons and nucleus in an atom. This is a fact because people performed countless experiments to validate it. The mass and charge of the electron and nucleus were measured by many people. Electrons can have different states with different energies. That is also a fact because of the atomic spectra. What else can we talk about the electrons inside an atom? Can we say that the electrons move on elliptic orbits or can we say that the electron inside a hydrogen atom has a speed of, say, 1000 km/s at this moment? No. Why? Do not forget “shut up if you haven’t made a measurement!” You may say, well, let us do a measurement on the position hence the orbit of the electron in the hydrogen atom. OK. How can we do it? If we have a super high resolution microscope, then we can look through it and find where the electron is and how it moves, right? Of course you are right. But how does a microscope operate? I know. It shines a beam of light on the object and receives the reflected light from the object you want to observe, from the reflected light we can see the object there. If you want to look at an electron, you beam light on it and see the reflected light. But do not forget that an electron is tiny and very light. When you shine a single photon on it, it is scattered away, perhaps to a place far from what it was before you beam light on it. Imagine you hit a billiard with a table tennis and make a measurement of the position of the billiard with the reflected table tennis. You know you can do it but you also know it would bring errors, sometimes disgustingly big errors.

This is the fact of life in microscopic world if you still adhere to one of the most fundamental principles in science “shut up if you haven’t done the damn thing.”

Because you have to do measurement before you dare to make a claim and because measurement may introduce uncertainty, you get different outcomes if you change the order of making two measurements, right? So the frightening statement “the order of making measurements matters” should become transparent now.

Two steps away and you are with quantum mechanics.

Step 1: How to describe this order of measurements? You are a smart gal. You say: just make a simple subtraction: see the difference between the outcomes with two different orders of measurements. Bingo! You got it. In quantum mechanics, we count the difference of the outcomes from different orders of measurements. If the outcome of measuring B before A is O_ab and the outcome of measuring A before B is O_ba, then the difference is O_ab – O_ba. That is the uncertainty caused by changing the order of measurements.

At this moment, a natural question you might ask is: Can this uncertainty specified? Or is this uncertainty measurable?

This leads to Step 2: The difference of the outcomes of the measurements of different orders is quantifiable. Heisenberg found the first such a difference. That is his famous principle of uncertainty which establishes the difference between measuring position before momentum and measuring momentum before position. His result is neat and beautiful: this difference is just the Planck’s constant (ignoring some constant). It turns out that his discovery is just one very simple, though very important, case. There are numerous physical quantities hence numerous ways of changing the orders of measurement. Each pair of physical quantities has its own uncertainty relationship. For instances, you may measure energy and time in different orders, you may measure x- and y-components of the particle position in different orders, you may measure the y- and z-components of the angular momentum of a particle in different orders etc. for each of these measurements, there exists a definite uncertainty relationship. For example, if we measure x- and y-components of the angular momentum of an electron in different orders, the uncertainty is also equal to the Planck’s constant (ignoring a constant). On the other hand, if we measure the x- and y-components of the electron position (characterized by three components x, y and z) in different orders, we get the same result. This means we may measure the two components simultaneously. Therefore, changing the order of measurement may or may not change the result. In symbolic language, you may denote the (generalized) uncertainty principle as AB – BA = Ch where h is Planck’s constant and C may or may not be zero.

If you are familiar with matrix algebra, you would immediately notice that if we assign each physical quantity with a matrix, then above uncertainty relationship becomes obvious because we all know that matrix multiplication may or may not be commutable, i.e, the commutator AB - BA may or may not be zero. Indeed, in history, it was Pascual Jordan, who realized that what Heisenberg was doing is matrix operations. Jordan insisted that all physical quantities in the microscopic world must be described by a matrix. Of course, matrix is just a dress of some more general thing, called operators. In other words, matrix is a special kind of operator.

Therefore, why we have uncertainty is because our physical quantities become operators at microscopic level. We can only obtain the ‘eigenvalues’ of these operators. Uncertainty is a consequence of the commutator of two operators. But this widespread notion is misleading. The correct way of stating it is: the uncertainty can be described with commutators. Therefore, quantum mechanics is not hard. It just quantifies a straightforward logic: doing measurements in different orders may produce different results.

Quantization is, in essence, to find the correct commutators that are related to different orders of doing measurements. Therefore, I won’t waste more spacetime on quantization because it is a profoundly simple procedure of counting the difference of doing measurements in different orders. It is not ‘the deepest mystery in science’ as you are frequently terrorized by crackpots. Quantization is nothing complicated although its significance is deep and far-reaching. We, frankly speaking, are still doing something not that different than what the physicists were doing 80 years ago.

Echoing the conclusion of 2.1, quantization is “think about the difference between making love before dating and dating before making love!”

Does that make human affection an operator?

Also try to figure out how these commutators relate to our very first question "why the accelarating electrons do not lose energy by radiation and fall into the nucleus?"

2.3 Fields and Quantum Fields (1)

To refresh your mind, I sum up the previous posting: quantum mechanics is a simple, logic, objective and truthful description of the microscopic reality. The most important rule we must follow is that ‘reality is the observed reality’, or ’reality is a body of information you could possibly collect on a system.’ To collect information, one must perform measurements. The order of measurements is of paramount importance and its consequence is neatly expressed with commutators. Therefore, any quantum theory ultimately boils down to finding the correct commutators. In this and next postings, I will extend this idea to fields, i.e., quantization of fields.

First, answer to the final question of the previous posting: Because both the kinetic energy p^2/2m and potential energy, -Ze/r, are ‘time dependent’, if one looks at them individually, an electron in an atom does radiate energy. However, the total energy, after average over the state configuration (wave function), has definite, discrete values. This means, the radiation of the electrons inside an atom is self-compensated so that the electrons essentially do not lose energy (this becomes clear if one calculates the average of the nucleus-electron dipole moments over the wave functions of an atom in any stationary states-so called eigen states). Therefore, the peculiar commutation relationship between p and r renders the energies of the electrons definite and guarantees the stability of the atoms. In formal language, as a result of the commutation relationship between position and momentum, the spectrum of the energy operator has a limited, definite minimum. Spectrum reflects our spirit of ‘reality is reality only when it is observed.’ Had there been no such a commutation rule, the atoms would not have existed at all. How lucky we are in this universe where the microscopic world obeys quantum mechanical rules! Generally speaking, all bound systems have discrete energies, called quantized energies, or energy levels. For many bound systems, there exists a nonzero minimal energy, called zero point energy.

Now turn to the major topic of this posting—fields and how it is quantized.

Fields were introduced into physics by Michael Faraday. We know he was a scientist (physicist and chemist) of rarely high caliber. He was not formally trained and known to lack math skills, but few physicists in history left lasting influence on physics as he. In addition to great specific discoveries such as dynamo, electromagnetic induction, electrolysis, electroplating etc., he proposed the existence of electric field and magnetic field. He created such a great concept based on his experience and physics intuition: two electric charges may attract or repel each other even though there is only a vacuum between them. He hypothesized that there must be something very special between the charges, field as he called it. He also developed operational methods to measure the strength of the field.

However, the question of “what in the world is a field?” has been in the mind of physicists. In Faraday’s picture, field is a ‘special stuff’ generated by electric charge or electric current. For a long time, his idea was accepted without much further scrutiny. Anyhow, nobody could say better than that and nobody could understand what that ‘stuff’ really is. People adopted a kind of pragmatism and described a field as something generated by a ‘source’ or charge (such as electric charge, magnetic moment, mass, ‘color’ etc), added to the void or vacuum or nothingness or spacetime. Fields can be regarded as some medium in spacetime albeit a very, very special kind of medium. However, about 100 years ago, Albert Einstein showed that gravitational field causes a distorted vacuum or spacetime. Crazy enough, he told us that spacetime is the gravitational field itself. We will not mention gravitational field until in the last postings of this series. Before then, we just visualize spacetime as a vast void waiting for ‘things’ to fill in. But here I must caution you that vacuum in physics texts is very different from void or nothing. Vacuum must be understood as some extra stuff in void or spacetime. I hope you will eternally keep this picture in your mind after finishing this posting.

According to today’s fashion, fields are the most fundamental ‘being’. A vacuum is the ground state, namely the lowest energy state, of some being. Notice here, that we have different vacuua because the ground states of different beings can be (and should be as some people insist) different. Actually, from here we can sense something eerie about modern physics, but I do not want to distract you at this moment. We will come back to this subject later.

Therefore, at the most fundamental level of reality, we have fields and we have fields of many kinds. Vacuua are the lowest energy states of these fields and particles are the other states of the fields. In other words, particles are created as a result of field excitation. Take a violin as an example. The vacuua are the strings at rest and particles are created if the strings are pulled. The vibrating strings may affect each other when they vibrate in harmony. According to this picture, we naturally arrive at an important conclusion that interactions between particles are mediated by fields. In fact, fields and particles are the same ‘stuff’. Particles such as electron, quarks, photon, muons, mesons, are all ‘excited’ states of their corresponding fields. Although we tend to visualize these ‘particles’ as some tiny-whinny point-like billiards roaming around in spacetime, we know we must be careful not to go too far.

I can imagine someone now would jump and protest: “Aren’t particles localized in space and fields distributed throughout the space?” Great question. Now it is good time for us to review and apply quantum mechanics we learnt in the last posting. The most important lesson from quantum mechanics is those commutators. For instance, position and momentum have such a commutation relationship: xp – px = h (ignoring a constant). Translating this into a more operational language, we say that the position and momentum of an object cannot be measured precisely at the same time. For a point-like object, by definition, it has a fixed value of position, i.e., the position has a precise value. This means the momentum is completely indeterminate to keep the commutation relationship valid. This is to say that the position at the next instant is completely uncertain since we have no information about its momentum (hence speed). It could be anywhere in the universe. Or it is nowhere. What is this kind of object? Isn’t it just like a ‘wave’ with no specific position?

On the other hand, if we get a definite momentum of an object upon a measurement, its position would be completely unknown, i.e., it could be anywhere. Here you would not oppose that it is essentially a ‘wave’.

Therefore, you see, a ‘particle’ and a ‘wave’ in quantum mechanics are the same ‘stuff’. They are wave-particle or particle-wave or non-wave-particle or non-particle-wave, as you please. From now on, I hope you will get used to this picture that ‘particles’ and ‘fields’ are the same ‘stuff’. Forget old-time counter-revolutionary, totalitarian slogans such as ‘localized particles’ and ‘distributed fields’ and embrace new-age, revolutionary, democratic buzzwords such as “fields and particles are the equal” and “fields are particles and particles are fields”, ”Vauua are the fields at the lowest state or ground state and particles are the higher-energy states of the fields.” Brainwash yourself for as many times as possible.

In brief: spacetime + ground state of field --> vacuum --> particles are born when a field is excited. Particles are babies born from vacuua. Vacuua are embryos of particles. We have different babies, so we should have different vacuua. You would agree that it is a good idea to use the enlightening symbol |0> to denote a vacuum.

You may ask: “how a field is excited so that particles are created?” It sounds hard but it is sucking easy. To see this, again, the violin metaphor is helpful. You pull the strings and you excite them and you create ‘particles’. What does it really mean to say ‘to pull the strings’? It is simply putting energy into the strings. Physicists use a similar method to give birth to particles. They add energy to a vacuum and the field is excited and particles are born. In formal words to exert terror, they use something called creation operators, denoted as a’ where the superscript ‘ means creation. When a creation operator acts on a vacuum, a particle is created, i.e., a new state of the field is created, simply denoted as a’|0>. Essentially, creation of particles is just pulling strings, or adding energy to a vaccum. The equation |1> = a’|0> is just a shorthand record of “a particle is created after adding some energy to a vacuum.” Kindergarten kids can tell us how to work with quantum fields. To compute how much energy is added, you simply count the number of particles created.

Just like a violin string may stop vibration if it loses energy, the excited field, or particles, may lose energy and go back to the vacuum state. When this happens, we say particles are annihilated or destroyed. By symbols, we have |0> = a|1>. Creation and annihilation of particles, or excitation and de-excitation of fields, are daily life of quantum fields.

In quantum mechanics, we measure all kinds of physical quantities such as position, momentum, angular momentum and energy. In quantum field theories, we do the same, but some simplicity as well as some complexity come in when we deal with fields. As for simplicity, we count the number of particles as kids can tell us. As for complexity, we have infinite number of positions and momenta so we have to deal with infinite number of degrees of freedom. There is another complexity, the so-called relativistic invariance, which has to be postponed to the next posting.

Quantum field theories can be regarded as an application of quantum mechanics to systems with infinite number of degrees of freedom. Therefore, it is no wonder in quantum field theories, the same principle applies: the order doing measurements matters. Creation and annihilation of particles is the central theme in quantum field theories as mentioned earlier. Creation and annihilation operators are what we need to perform measurements. The commutators in a quantum field theory, therefore, may be denoted as [a’,a] = h (ignoring a constant). That, as you may instantly recognize,is just the commutation relationship lifted from quantum mechanics. Yes. quantum field theories steal or herit a lot from quantum mechanics. But why don't we simply call them quantum mechanics?

To answer this question, some new element has to be introduced and we’d better leave it for the next week.

I hope by far you have not been deterred. I promise that you will have an easier time in the future if you have come along without much agony. As long as we maintain some percentages of the curiosity and persistence of our chief scientist Shortriver Scholar, we will be able to climb up to the summit of modern physics.

Gauge Theories -2.4 Fields and Quantum Fields (2)

At this point, you should be able to properly answer the oft-asked questions such as “what is the size and shape of an electron?” and ”how can you be sure all electrons in the universe are the same?” etc.

No let us move on.

The previous posting concluded with this question: “since quantum field theories are just applications of quantum mechanics to systems with infinite number of degrees of freedom, why don’t we simply call them quantum mechanics?”

We will give a full answer to this question in this posting. Along the way, we will talk about relativity and why it has to be accommodated in a decent quantum theory. We hope this posting will also assist the reader to have a better understanding of the concepts introduced in the previous posting. After this posting, we will be able to introduce a set of new commutation rules, complementing the one we mentioned at the end of the previous posting.

First of all, we point out a trivial fact: the term “quantum mechanics” is normally used as synonymous with “non-relativistic quantum mechanics.” This is to say, ‘quantum mechanics’ used in most settings, does not consider the effects of relativity. “That’s certainly not good enough,” I can hear your blurting. A complete quantum theory must be consistent with the special theory of relativity and must be integrated with it. Such a quantum theory has a special name—quantum field theory.

Quantum field theory fulfills the mission of unifying quantum mechanics and special theory of relativity. According to Steven Weinberg, the master among masters, quantum field theory is the only logical consequence of quantum theory integrated with special theory of relativity (plus some other commonly assumed principles in physics). Quantum mechanics has to become quantum field theory if relativity is taken seriously. You may also sense that a quantum theory incorporated with special theory of relativity somehow necessitates fields. Yes, exactly. Fields become the most fundamental building blocks of nature once quantum theory and special theory of relativity meet, mingle and mate. If you are a curious guy, I’m sure you must be utterly intrigued at this point. A lot of people get completely lost here and at the same time desperately attracted to this seemingly unlikely twist because it sounds as if relativity plays some magic acts that turn the stage (fields) into protagonists. We should not miss the opportunity to enjoy the mental euphoria offered by the great quantum physicists.

I do not need to spend much spacetime talking about relativity theory because it is well known for being profoundly trivial. It can be loosely packed into a very short sentence: the speed of light is the same for any observers. It is always c no matter in which reference frame you perform the measurement. Suppose someone is moving at, say, 0.5c and send a beam of light forward, the other guy who is at rest measures the speed of light and he will get exactly the same value c, not c + 0.5c. One cannot add a speed to c. Why does light show such an odd behavior? Textbooks tell you that experimental results in electromagnetism say so. (But I believe there exists a ‘deeper’ interpretation and I challenge you to figure it out and post your answer here. I will show my interpretation in the next posting.) You can imagine that to maintain such a bizarre behavior of light, the rule for adding up speeds, i.e., the transformation rule from one reference frame to another must be a little bit different from that you see in high school books. That is Lorentz transformation, a simple algebraic expression even Einstein, well known for his math deficiency, could manage it properly after sweating on some trials and errors. So I do not need to waste spacetime to write down that transformation here. “Light does not change speed”, that’s all relativity theory about. The consequences of this deceptively simple statement, however, are somewhat counterintuitive albeit not mindboggling. The mostly referred phenomenon is that spacetime interval, i.e. the duration of a clock’s ticking and the length of a ruler, depend on speed. Motion shortens length and dilates ticking. It is actually a rather shallow conclusion if you must keep the speed of light the same in all frames of reference. If the ruler and clock do not behave differently in different reference frames, addition of speeds has to be just like ordinary arithmetic summation. Only by imposing a specific restriction on the frame-dependent ruler and clock, can light move at a constant speed in all reference frames. For example, the light in a moving frame might look traveling a longer distance as measured in the rest frame, but the duration the light travels for, measured in the rest frame, also increases by the same factor, maintaining the speed of light the same in both frames.

If you bother to take a look at the algebraic expression of the Lorentz transformation (I break my previous promise and show it in full here: x’=ax+bt, t’= ax + ct, y’=y, z’=z) that a kindergarten kid can understand, you may readily find that is just a rotation of a ‘rod’ in a four dimensional manifold. The length of the 4-rod is a constant. Relativity is absolutivity in the four dimensional (Minkowski) spacetime, as you may often hear. If you bother to take another look at the Lorentz transformation, then you’ll find the following slogan just crap: space and time are related to each other, not separated, to form a single four dimensional entity. (Experts know that space and time are already connected in ancient Galilean relativity.)

As a sideshow, I write a few more words further debunking relativity. It is a sad phenomenon that such a slim and simple theory as relativity is so gravely mystified, by both laymen and professionals. The spirit of relativity is actually exactly the same as that of quantum mechanics, i.e., reality is reality only after it is measured. We come to terms with quantum mechanics once we get rid of the ‘classical’ wishful thinking about physical quantities such as position and speed. We inevitably arrive at the special theory of relativity once we are serious about measuring distance and time duration. It is just another demonstration of the triumph of logic and realism. With this observation, I hope you are a little more empathetic to the fathers of quantum field theories who felt so compelling that quantum mechanics and relativity theory had to be unified.

One of the most conspicuous consequences of combining quantum mechanics and relativity is that particles may be created or destroyed. How does it come? A shortcut, widely used in popular books and formal textbooks, is that uncertainty brings about energy fluctuation which according relativity theory implies a fluctuation of mass hence particles. The shorter time one observes, the more particles are created ephemerally. Remember what happens when we try to measure the location of an electron with higher and higher precision? We need more and more energetic photons (so their wavelengths are shorter and shorter). But a photon of sufficiently high energy may transform into an electron-positron pair which in turn may create (and annihilate) other particles. Therefore, according to this picture, relativity requires creation (and destruction) of particles.

However, this picture seems not to catch the most important characteristic of relativity, i.e., spacetime is relative and governed by the Lorentz transformation. How quantum mechanics is integrated with a relative spacetime in a quantum field theory is unclear here. In other words, where in a quantum field theory is the concept of relative spacetime hired to play a pivotal role? We would better address this issue here. As mentioned before, the only math in relativity theory is the Lorentz transformation. A quantum field theory must observe the same transformation rule. That is called Lorentz invariance. Therefore, the integration of relativity theory into a quantum field theory is realized by Lorentz invariance. Therefore, you should not wonder all quantum field theories are born to be ‘relativistic’. Some unexpected consequences follow, such as that the probability of finding a particle is not an invariant anymore. In quantum mechanics, the probability of finding some particle in the ‘universe’ (some predetermined region) is conserved and can be normalized to 1 if needed. That is another way of saying that a particle would never disappear in the ‘universe’, or, a particle cannot be created out of blue. However, it is against what happens in a real world. Particles do disappear and particles do pop up as if from nowhere. For example, a photon can be absorbed by an atom and disappears for good. An electron can be absorbed by a proton or by a positron. A pair of electron and positron may be created from a high-energy photon. What amounts a little bit counter-intuitive is that the creation and annihilation of particles are a natural consequence of relativity. The requirement of Lorentz invariance on the dynamics of quantum systems not only permits, but demands, creation and annihilation of particles. You may have been told for billions times that relativity is far from human experience, but you now try to figure out why you can read and write in night under a light bulb. ‘Old quantum theory’ might tell you that an excited atom may radiate ‘spontaneously’ so you have light. But now you should understand that it is relativity that plays a background role for you.

Therefore, we learnt that particles can be created and destroyed as a consequence of Lorentz invariance. Particles living in the four-dimensional Minkowski world are not eternal, but ephemeral. Particles can be created and destroyed anywhere and anytime. This leads to the ‘fieldization’ of particles, i.e., we'd better simply assume that fields are the most fundamental ‘stuff’ filled in the spacetime and particles appear or disappear because the underlying field is excited or de-excited. Relativity, or more specifically, the Lorentz invariance, therefore, requires that quantum mechanics grow up to quantum field theory. Wavefunctions in quantum mechanics have to be upgraded to, or, replaced by, fields. ‘Finding a particle at position x’ in quantum mechanics has to change into “excitation of field at position x’. The notion ‘a(chǎn) particle disappears at position x’ is illegitimate in quantum mechanics, but the notion ‘a(chǎn) particle is annihilated at position x’ makes perfect sense in quantum field theory (and conforms with reality for sure). The reason of introducing creation and annihilation operators becomes obvious.

Relativity also leads to another crucial and striking consequence: for every particle, there must exist an anti-particle which has exactly the same rest mass and spin but with opposite charge of the original particle. To see this, we recollect how to excite a field and create particles. A field is excited if an adequate amount of energy is added into it. A particle is created somewhere and sometime in spacetime. Quantum mechanics tells us that we have uncertainty to specify precisely ‘somewhere and sometime’. This means we do not know exactly where and when the new particle is created. In quantum mechanics, we want to compute the ‘evolution’ of a wavefunction and that can done by calculating the Schroedinger equation, the equivalent of Newton’s law in classical mechanics. In particular, we need to compute, given the value of the wavefunction at some initial time t0, what is the wavefunction at some later time t. This is an exactly the same procedure in classical physics where we are normally asked to compute the position of an object at time t given the position at x0 at time t0. In classical physics, we have trajectories, the history of the positions. In quantum mechanics, we do not have trajectories and we only have probabilities. Therefore, in quantum mechanics, the ‘evolution’ or ‘prediction’ problem changes into “finding the wavefunction at time t.” That is equivalent to “finding the correlation of wavefunction at any time t and that at an initial time t0.” Correlation function (of wavefunctions) is not only easier to compute in many cases, but also can be directly extended to quantum field theories. Actually, the same strategy can also be employed in classical physics to increase computing efficiency and in many circumstances offer invaluable insights. (It is categorically called Green function method.) In quantum field theories, therefore, the primary goal is to find the correlation functions of the creation/annihilation operators. All calculations in quantum field theories boil down to computing these correlation functions. In quantum mechanics, the correlation function may show space-like characteristic, i.e., faster-than-light propagation (‘spooky action at distance’ as Einstein bitterly called it) is allowed in quantum mechanics because quantum mechanics, as we mentioned earlier, is supposed to be non-relativistic and does not observe the constraint of relativity. Quantum field theories, however, are born to be relativistic and must not permit such space-like correlations. Since particles are created or destroyed at random positions and instants, space-like correlations are intrinsically and inevitably present in quantum field theories. On the other hand, relativity theory is by no means violable. Therefore, the ball is in the court of the quantum field theory. An acceptable quantum field theory has to get rid of this ‘spooky action at distance’to marry with relativity. This, it turns out, is not an irrational demand, but a fortuitous blessing. After some struggle, physicists came to a perfect, or ’more perfect than perfect’, solution to this conundrum. If for every particle, an anti-particle, with exactly the same mass, spin but with opposite charge, is introduced, then the annoying ‘spooky action at distance’ disappears. The space-like correlations caused by the wanton hide-n-seek games played by the particles are exactly cancelled out by the same tricks played by their respective antiparticles. Don’t you think this is a one-stone-for-two-birds solution? This kind of elegant combo show of the human’s intelligence and Nature’s beauty is rare in the history of science and is never overpraised.

Textbooks may tell you that antiparticles guarantee an important constraint on the speed of information propagation: no information can be transmitted faster than the speed of light. In formal language, the space-like propagation (a shorthand notion for faster-than-the-speed-of-light signal transmission) is zero if antiparticles and particles are on the same footing in a quantum field theory. However, it remains a debated issue whether information propagation speed is the cause of antiparticles or antiparticles are the cause of information propagation speed. Most textbooks do not bring up this question but it is an interesting and worthwhile question. Yours sincerely prefers the former but some authors prefer the later. You make your own decision and you are safe, so far, at least.

Some people may tell you that antiparticles are just ‘holes’ in the vacuum, running backwards in time, but that notion, heuristic and entertaining as it may be, can be catastrophically misleading. Besides introducing the unphysical concept of ‘negative time’, this makes an antiparticle look surreal and even imaginary, but we know that for a given field, who is given the name particle and who the name antiparticle is completely arbitrary. Indeed, the formulation of a quantum field theory dictates that particles and antiparticles are on exactly the same footing. For the reader who is familiar with Fourier analysis, antiparticles in quantum field theory pop up as naturally as the ‘negative frequency’ components appear in a ‘signal’. It is only for the sake of custom and convenience that we specify which frequency is positive and which is negative. When a field is excited, both positive and negative frequencies are necessarily created, exactly the same as when a desk is pounded or the floor is stamped, both positive and negative vibrational frequencies are equi-probably generated. Therefore, you see, nothing mysterious and nothing hard about antiparticles. They have to be there and have to be taken into account.

Before concluding, we mention that the notion of particle is not a watertight concept. For example, you may ask: can I decompose a field in a different way other than Fourier expansion? Sure, you may. And you should. That’s why you heard of pseudo particles, quasi-particles and virtual particles. For example, a virtual particle is something like a wavelet rather than a single-frequency component (ordinary particle). A wavelet may have many different frequencies and contain a decay factor (equivalent to having a finite lifetime). Indeed, we still have some open questions about ‘particles’. We will come back to this point in due time.

With the preparation of this posting, we will be able to come back to our earlier assignment—the commutators of quantum fields.

2.5 Fermions, Bosons and Anyons

First I apologize for not being able to write this series in most of the past month because of some unexpected assignments. I appreciate the readers, the great Scholar Shortriver, in particular, for their patience.

In the previous 2 postings, we have learnt that quantum field theories are the natural, necessary and indeed inevitable outcome if quantum mechanics has to be incorporated with the special theory of relativity. In passing, we were also told that antiparticles are a must for quantum field theories. With antiparticles, the notion that “particles and fields are the same stuff” becomes more transparent: fields are the configuration of a physical system in the real space and particles are the fields in the momentum space, or, k-space. Fields and particles are just two different but equivalent descriptions of nature.

What I did not mention is that the inclusion of the special theory of relativity has another ‘deep’ consequence: the particles and antiparticles, or the excited states of the field, have internal degrees of freedom. For instance, a particle may carry spin, or magnetic moment. It is well known that the electron has a negative charge, but it is less well known that the electron also has a magnetic moment, i.e., an electron is a tiny bar magnet. The fact that an electron has a charge is the foundation of the mature electrical and electronic industries; the fact that an electron has a spin is the foundation of the emerging technology called spintronics. In the following, we will reveal the fundamental origin of this internal degree of freedom. With that, I hope you will have a better and deeper understanding of our spacetime and the fields/particles it permits.

Now we are in the position of ending the conceptual introduction of quantum field theories by presenting all the commutators related to quantum field theories. We were informed at the beginning of Section 2 that all computations in quantum field theories, such as in particle physics, nuclear physics and cosmology, boil down to the manipulations of commutators. Now that we have antiparticles, we need to introduce the corresponding creation and annihilation operators, b’ and b. To include antiparticles in quantum mechanics, we need to stipulate the difference between doing measurements in different orders, i.e., we need to specify new commutators for b, b’ as well as between a’, a and b’, b. The idea is exactly the same, only more lines of formula are written.

Experience tells us that even for one type of particles, they may be different physically, namely they may take different values for a given physical property. That is of course obvious. An electron, for example, may have different kinetic energies, momenta or spin. It is convenient in practice to use extra subscripts to specify these properties and creation and annihilation operators now look like a’_i, b’_j, a_i, b_j etc. The most important gadgets in the entire toolbox of the quantum field theories are the following commutators: [a’_i, a_j], [a_i, a_j], [a’_i, b’_j], [a_i, b_j], b’_i, b_j], [b’_i, b’_j], [b_i, b_j]. What more happy is, most of them are simply zero. For instance, they are all zero if i is not equal to j. Similarly, any pair creation operators and any pair of annihilation operators are zero. These facts are easy to understand in perspective of viewing a commutator as doing measurements in different orders.

The only nonzero commutators are [a’_i, a_i] = h and [b’_j, b_j] = h (ignoring a constant). In words, the following two cases have different outcomes and the difference is characterized by the Planck’s constant h: (i) creation of a particle before its annihilation and (ii) annihilation of a particle before its creation. In case (i), the particle has not existed yet, but in case (ii), the particle has already been there. Therefore, a quantum field theory is not that different from quantum mechanics. It is still about measurement albeit on systems with infinite number of degrees of freedom. The commutation rules are not much different from those in quantum mechanics. The only spectacular thing, as it seems, is the introduction of antiparticles imposed by the special theory of relativity.

Is it the end of the story?

Unfortunately, it is not. No. Fortunately, it is not.

It turns out that the above commutators only apply to one class of particles called bosons. The other class of particles, called fermions, satisfy a slightly different commutation rules, i.e., anti-commutation rules: {a’_i, a_i} == a’_i a_i + a_ia’_i = h. That is to say, the minus sign in a commutator has to be changed into the plus sign for fermions. The reason is that bosons and fermions have different internal degrees of freedom: bosons have an integer spin such as 0, 1, 2,…while fermions have a half-odd-integer spin such as 1/2, 3/2,...

Why is it so? Why do we have two classes of particles? Or why do we have two classes of excited states of the fields? The question can also be askedin this way: Why do we have ONLY two classes of particles? The root of cause is that our fields are “contained” in spacetime. We all know that a container necessarily imposes some constraints on its content. The oil in a capillary and the oil in a film on the surface of, say, water, may show very different properties. The properties of spacetime must affect the properties of the fields it contains.

From the Lorentz invariance we learnt in the previous posting, we know that our spacetime is isotropic or democratic, i.e., there are no noble positions and times nor autocratic directions. It seems a really plain, unremarkable, even boring, fact of nature, but it is one of the most important facts for physicists. Imagine that our spacetime does not have this symmetry. Then this would imply that every point of our spacetime has its own physical laws, possibly unrelated, or, related to each other in a very complicated manner. Billions of Newtons and Einsteins would not be sufficient to find a physical theory applicable to our universe!

Fortunately, our spacetime does have this beautiful, simple symmetry (at least a very good approximation). A completely democratic spacetime has the highest symmetry as you can see it immediately, denoted SO(3) or SO(3,1) if time is also included. That is the most important property of our spacetime. Understandably, we will come back to this group frequently.

It is this obvious property of spacetime that leads to the two classes of particles, or, two sets of commutation rules (commutation and anticommutation rules).

To pinpoint which property of spacetime determines the commutation rules, we take a closer look at the meaning of a commutator, the symbol denoting the difference of doing two measurements in different orders.

In the language of ‘particles’, for a system consisting of identical particles, exchanging any two (or more) particles should make no differences. A country full of identical individuals would not make any difference if any two of them exchange positions. In quantum mechanics, this means that the exchange of any two particles should not make any measurable effect, i.e., it is of no significance on any measurements. However, we must be aware of that no effect on measurement results does not require no effect on wavefunction or field configuration. As mentioned in Section 2.2, wavefunction is more a supporting tool to assist calculations than a physical object. In fact, as well known, if a wavefunction is multiplied by a phase factor ph=e^(i*theta), no physical difference is made. So is the case for field operators. Therefore, if two identical particles exchange positions, the wavefunction or field operators may be changed, at most, by a phase factor. Any two particles can exchange positions and bring a phase factor to the wavefucntion or field operators. Because of the equivalence between particles and fields, the effect on exchange in positions is exactly the same as that on exchange in momenta.

Therefore, the effect of exchanging particles on creation or annihilation operators brings about, at most, a phase factor, i.e., the general commutation rule, after taking this identical symmetry into account, is: [a’_i, a_i*ph]=h. It might be superfluous to mention that this identical symmetry is a consequence of our isotropic spacetime. The remaining job is to find what this phase factor ph is. As mentioned above, this ph must be a property of our spacetime.

[a slightly different way of argument: an identical particle system should possess exactly the same symmetry of the spacetime. the wavefunction of a particle under a full rotation (e.g., a 360-degree rotation around a fixed axis) must show no difference other than a phase factor. therefore, when two identical particles are exchanged, the effect is at most a phase factor. it is equivalent to say that change of the order of any two creation/annihilation operators, brings about at most a phase factor. ]

Well, exchange of two particles produces, at most, a phase factor. How many different values can ph take? The problem, therefore, turns into how many distinct ways we bring a system back. It seems we have an infinite number of ways. However, our spacetime has a high symmetry, specifically its symmetery group is SO(3,1). Among the seemingly infinite number of ways of bringing a system back, many of them may be identical. To see whether two ways are identical or not, we look at the parameter space of the symmetry group. A rotation is specified by the rotational axis and the angle of rotation. It can be expressed by a point in a space: its distance to the origin is the rotation angle and the direction of the vector linking the point and the origin is the rotational axis. The parameter space of a symmetry group is the collection of all such points. The parameter space (topological space of the symmetry group) of SO(3) is a ball with diameter pi. Considering the rotations of pi and –pi are identical, all antipodal points of the surface of the ball must be identified.

A loop (with its base point at the origin) in the group space corresponds to a series of transformations that return the system to its original configuration. If two loops can change from one to the other via a continuous deformation, they are equivalent. Two equivalent loops make no difference on the system. In particular, if a loop can shrink into a single point in the group space, the transformations are equivalent to a single rotation. If a loop can shrink into the origin, the transformations are equivalent to no rotation at all.

How many ways of shrinking a loop in the parameter space of the symmetry group of our spacetime? For the topological space of group SO(3,1), it turns out that there are only two classes of loop: A loop in the group space that can shrink into a single point (the origin) and a loop that cannot shrink into a single point but two of such loops can shrink into a single point. We find that the loops in the parameter space of the symmetry form a group, called the fundamental group. For SO(3) group, therefore, its fundamental group has only two elements: the class of loops that can shrink to the origin and the class of loops that need run two turns to shrink to the origin. The first class corresponds to ph=1 and the second to ph = -1. Taking into account the symmetry of spacetime, therefore, we find that there are only two possible distinct effects on a system by exchanging the particles.

In formal, concise language, the commutation of creation/annihilation operators is decided by the fundamental group of the topological space of the symmetry group of the particle system. It may sound bizarre for the people who hear this for the first time, but do not worry. Here we add a paragraph to dispel the mystery of the fundamental group. The reader who is already familiar with the group space may skip the following paragraph and simply jump to the last paragraphs of this posting.

Let us take another look at what is the topological space of a (symmetry) group. The symmetry group itself is a topological space, i.e., the space formed by exhausting the values of the parameters that characterize the group. For example, the symmetry group of a circle is SO(2), i.e., the circle shows no difference when it rotates around its symmetric axis by any angle. The parameter space of the symmetry group, therefore, is a real line. However, we know two more facts about rotation around a fixed axis: (i) that rotating by alpha is the same as by pi – alpha, (ii) rotating by one turn is the same as by any integer number of turns. Taking these two facts into account, we find the topological space of SO(2) to be something like this: a line but we have many, many equivalent points, such as (using pi as unit): 1 = 2 = 3 = 4 = …. n = -1 = -2 = -3 = …. = -n and a = 1 – a. Therefore, the parameter space of SO(2) is a segment [0, 1] with its two endpoints 0 and 1 identified (equalized). It is actually a circle. The group space of the group SO(2) (the symmetry group of a circle) is a circle. It is easy to find that the loops (of any turns) on a circle cannot shrink to a point. Any two loops of different turns belong to different classes. Therefore, the loops form a group with infinite number of classes (elements). The fundamental group of the topological space of SO(2) is all integers because any number of turns around the circle is different from other numbers of turns. This has a profound consequence: the exchange of any two particles in a 2+1 spacetime can bring about any phase factor ph. The commutation rule for the field operators, therefore, is the most general form: [a’_i, ph*a_i] = h. The particles satisfying this rule are called anyons.

In summary, the fundamental group can be simply described as the ways of contracting a loop in the space. Visually, the fundamental group identifies the ’holes’ in a space. The fundamental group of the topological space of SO(3) is a group with only two elements (denoted Z2) because there are only two different ways of contracting the loops in this topological space. For two-dimensional systems such as the electrons restricted in a film or bound in a membrane, the symmetry group is reduced to SO(2) whose fundamental group has infinite number of elements (Z). In our spacetime, i.e, 3+1 manifold, ph=+1 for bosons and ph=-1 for fermions. For 2+1 spacetime, ph can be any values and the corresponding particles are called anyons. Therefore, the commutation rules in quantum field theories have a deep origin that traces all the way back to the most fundamental properties of our spacetime, the topological structure of the symmetry group of our spacetime. Doing measurements in different orders must consider the symmetry of our spacetime.

Therefore, the topological property of the spacetime may provide an extraordinary restriction on the possible types of fields or particles. For 3+1 spacetime, there are only two types of particles. We may assign an internal degree of freedom, the spin, to the particles. In this picture, the commutation or anticommutation is decided by the spin of the particles, integer spins (bosons) obeying commutation rule, half-integer spins (fermions) obeying anticommutation rule. For 2+1 spacetime, however, an infinite number of types of particles may be allowed. Non-integer and non-half-integer spins (anyons) obey ‘a(chǎn)ny-commutation’ rule.

There is another way of describing above difference. According to the special theory of relativity, a particle can be described by its worldline—the “trajectory” of the particle in spacetime. The history of a particle can be represented by a curve in the spacetime. You may imagine that the worldlines of the particles form noodles or braids. Exchange of particles means the braids getting tangled. In 3+1 spacetime, the tangle by exchanging the worldlines of two particles can always be detangled. In 2+1 spacetime, however, the tangle cannot be detangled.

Now it is good time to upgrade our old picture of spacetime as a kind of passive, void background or box detached with the fields or particles it contains. In the previous posting, we learnt that the special theory relativity tells us that spacetime is not a passive framework, it has its unique property: it obeys Lorentz transformation rather than Galilean transformation, i.e, space and time are connected. In this posting, we see that the topological structure of spacetime provides a severe restriction on the possible types of particles.

At this stage, we have come to the end of quantum field theories, conceptually. The remainder is technical. We may ignore them completely without affecting our understanding of nature significantly. However, to expose the problematic aspects of modern quantum field theories, we would better go through some technical procedures. The good news is that we still do not need equations to accomplish the job. Words, logic and a fresh mind are all we need here.

開(kāi)心學(xué)數(shù)系列 Playing Math Series

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理

Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold

開(kāi)場(chǎng)白

余觀天下學(xué)數(shù)眾才，體察愈久，遺憾益多。開(kāi)始決定獻(xiàn)身數(shù)學(xué)時(shí)，大家都是聰明、愉快、可 愛(ài)、活潑的，也是被別人視為天賦才俊。但是隨著時(shí)間推進(jìn)，一些人開(kāi)始變愚蠢了，一些人 開(kāi)始變苦悶了，一些人開(kāi)始變得令人討厭了，一些人開(kāi)始變古怪了，一些人變虛弱了。更過(guò) 一些時(shí)間，一些人已經(jīng)是白癡了，一些人已經(jīng)自殺了，一些人已經(jīng)是罪犯了，一些人已經(jīng)是 瘋子了，一些人累死了。現(xiàn)在走在這條路上的或朝這條路上走的仍然是千千萬(wàn)萬(wàn)，各種悲劇 天天發(fā)生。身是獻(xiàn)了，但白獻(xiàn)了。還搭上翹首期望的家人親友以及一些無(wú)辜的關(guān)連者。 萬(wàn)幸偶有小成大成者，卻同時(shí)也惹出一堆冤家對(duì)頭，傾扎之慘烈，不亞于黑幫火并。暫時(shí)勝 者擔(dān)心報(bào)復(fù)，除時(shí)時(shí)努力固守城池以外，也終日疑神疑鬼，久而變態(tài)失常，最終眾叛親離者 絕非鮮見(jiàn)；一時(shí)敗者則臥薪嘗膽，時(shí)時(shí)司機(jī)反撲，報(bào)得一箭之仇，然現(xiàn)實(shí)常常是仇難報(bào)，氣難 消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而變得古怪，抑郁，甚至崩潰。 為何開(kāi)始看起來(lái)的一樁好事會(huì)變得這樣慘呢？主要是態(tài)度不對(duì)。古人練功修行講的德字主要 是就是講態(tài)度要正確。現(xiàn)在很多人，由首先喜歡數(shù)學(xué)崇拜數(shù)學(xué)變成拿數(shù)學(xué)當(dāng)商品工具謀名獲 利，并以所得多少作為衡量成功與否的標(biāo)志，多數(shù)人因此走入歧途是必然的。正確的態(tài)度是 你玩數(shù)學(xué)或你與數(shù)學(xué)玩。以玩得開(kāi)心為最高宗旨。既不要想通過(guò)學(xué)數(shù)學(xué)抱得美人歸，住進(jìn)黃 金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩澤鄉(xiāng)里，更不要想去當(dāng)所謂英雄為民族爭(zhēng)光， 報(bào)效國(guó)家，這些人充其量也就是被權(quán)貴玩來(lái)擺去的寵物狗。如果一開(kāi)始就是以正確的態(tài)度學(xué) 數(shù)言數(shù)，玩數(shù)之人就會(huì)永遠(yuǎn)保持聰明、愉快、可愛(ài)、活潑。如果是這樣，我們看到的數(shù)學(xué)文 章著作也決不是現(xiàn)在這樣以狗狗互相威聶的方式寫(xiě)成聲明書(shū)。

本文題頭引用的數(shù)學(xué)物理大師也是教育大師Arnold的話，反映本人對(duì)數(shù)學(xué)（物理）界悲劇的 另一些觀察是也沒(méi)有錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)生到大二左右，就開(kāi)始幻想脫離俗家塵世，進(jìn)入不食人間 煙火的狀態(tài)。先是與"土得掉渣，難以啟齒"的具體數(shù)字和圖形決裂，然后是大膽拋棄"半土 不洋，膚淺得很"的運(yùn)算和公式，匆匆穿上光鮮的水貨衣服（半懂不懂的外文書(shū)），擦上廉 價(jià)的胭脂（網(wǎng)上抄來(lái)的作業(yè)），配上借來(lái)的首飾（一知半解的老師講義），端著身子急急溶 入"豪華典雅，宛如仙境"的各種抽象定義引理定理建構(gòu)的"上流社會(huì)"。但是，正如Arnold指 出的，不必要的抽象不但害人，終將害己。與學(xué)武功的人類比，過(guò)分抽象等于過(guò)份強(qiáng)調(diào)虛力、 意志和策略而忽視實(shí)力、環(huán)境和具體的戰(zhàn)術(shù)，好多從數(shù)之人走向悲劇，不光做不出數(shù)學(xué)成果， 最終連一份謀生的差事都做不來(lái)，重蹈邯鄲學(xué)步覆轍，實(shí)屬自取其果，如果一開(kāi)始就加以注 意，完全可以避免。

鑒于上面幾點(diǎn)，本文的第一個(gè)主要目的當(dāng)然是要向外行以草包大眾喜聞樂(lè)見(jiàn)的方式介紹一些 常人望而生畏的著名數(shù)學(xué)難題，作點(diǎn)破除迷信，奚落權(quán)威的事。舊時(shí)艱澀書(shū)中物，進(jìn)入平常 百姓心，翰林神道華山劍，屠狗之輩亦善玩。既向有數(shù)學(xué)興趣的人展示絕大多數(shù)的抽象是不 必要的害人之物，另外也順便將一些所謂的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上無(wú)神鬼， 都是人炒起也，跟著抽象起哄的數(shù)學(xué)家中真正懂得實(shí)質(zhì)的人并不多，與江湖郎中一樣。本文 另一個(gè)主要目的之一是（向數(shù)學(xué)家們或數(shù)學(xué)家們to be）示范如何以正確態(tài)度學(xué)數(shù)學(xué)，如何 以正確態(tài)度講數(shù)學(xué)。看看我如何講數(shù)學(xué)，如何理解數(shù)學(xué)，希望給學(xué)數(shù)同道樹(shù)個(gè)榜樣。希望你 們讀完此文以后，不光是具體知識(shí)增長(zhǎng)了，學(xué)數(shù)教數(shù)的態(tài)度也變得積極正面一些，個(gè)人生活 變得快樂(lè)一些，減少悲劇的發(fā)生。方老師多年來(lái)以通俗的語(yǔ)言向普羅大眾介紹現(xiàn)代生醫(yī)，教 我們識(shí)別害人的巫醫(yī)毒藥，教我們保健養(yǎng)生，功德無(wú)量，不可磨滅，經(jīng)濟(jì)價(jià)值和社會(huì)意義， 則更無(wú)法估價(jià)。我輩應(yīng)以他為楷模。其實(shí)方老師作功德的同時(shí)，也對(duì)自己的生活品質(zhì)的提高 有很大的幫助，所謂助人者幸福，助人者天佑。我寫(xiě)此文也完全是本著渡人利己的原則，因 此，看官倘有收獲，不必說(shuō)謝謝，我已經(jīng)收獲了大頭在先。

目錄（subject to changes）

開(kāi)場(chǎng)白

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（1）─引子

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（2）─雅俗兩故事，AS的實(shí)質(zhì)

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（3）先聲─Riemann-Roch與Gauss-Bonnet-Chern

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（4）─黑話破解，主要概念介紹

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（5）─奇徑通峰，AS之證明

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（6）─回味無(wú)窮，總結(jié)與教訓(xùn)

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（1）─引子

Atiyah-Singer指標(biāo)定理，江湖黑話謂之AS。它集映射，流形，纖維叢，特征類，上同調(diào)，橢 圓算子，Bott周期，范疇，K群等名草貴藥于一丸，坊間流傳，其外形神秘可畏，內(nèi)在艱深 難測(cè)。它作為一粒神丹，用得好，據(jù)說(shuō)它能立解萬(wàn)毒，有還魂回陽(yáng)之功；用得不好，七竅流 血，凌遲而亡。另一方面，它又融微分幾何，拓?fù)鋵W(xué)，微分方程，代數(shù)幾何等神刀鬼劍于一 體，有幸親眼目睹真身者皆曰：陰森冷峻，殺氣騰騰。它作為一件兵器，使得好，所向披靡， 固若金湯之城池不攻自破，平常驕王悍匪，紛紛掛表求降；使得不好，手抖腳顫，心慌意亂， 迷魂喪智，以自宮了結(jié)。

西域數(shù)壇崇AS為20世紀(jì)數(shù)學(xué)的之里程碑，中土學(xué)數(shù)者則贊其為泰山顛峰，東海之底，景仰之 情非科學(xué)者所能言表。數(shù)學(xué)科班出身者對(duì)之多談虎色變，敬畏萬(wàn)分，偶被論及，或胡謅亂侃 嚇唬外人，或顧左右而言他。理論物理諸生則視其為峻嶺奇峰，躍躍欲試以領(lǐng)略身臨絕頂俯視 眾山之快感。然意欲登攀者，多數(shù)在此摔得身殘心碎，從此一厥不振，消隱紅塵，更悲者則 是落得粉身碎骨，抱恨終天。少數(shù)登高而成吸得仙風(fēng)獲此寶器者，則耀武揚(yáng)威，不可一世， 每置對(duì)手于死地，更賴其奇功在江湖上呼風(fēng)喚雨，坐定上排交椅。 如此神妙之仙丹，是誰(shuí)煉成？如此威風(fēng)之兵器，是誰(shuí)鑄就？倘真如上所述，則發(fā)明者功高勝 天，非溢譽(yù)也。 抑或果真有所稱之奇妙威風(fēng)？無(wú)有明夸暗炒之嫌？ 且看polik慢慢貼來(lái)。

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（3A）─橢圓算子與纖維叢(polik)

至少有些響應(yīng)。感謝Berkeley狼，xj等人釋疑，你們今年必有好運(yùn)。

人終究是自利的。越寫(xiě)越覺(jué)得是娛己勝于娛人，以致有些地方突然變成自言自語(yǔ)。還有就是， 雖然我做了一些努力，一些術(shù)語(yǔ)的使用還是不符合中文數(shù)學(xué)文獻(xiàn)之規(guī)范。這些只能請(qǐng)看官多 包涵。今后有空有興再貼個(gè)修改版。

一開(kāi)始提了，本講座不是寫(xiě)給娃娃的童話，而是以領(lǐng)略數(shù)學(xué)顛峰奇景為目的，專門(mén)撩撥數(shù)學(xué) 里的超級(jí)成人話題，極黃極暴力。看官倘若沒(méi)有疑慮、心跳、罪惡感以及憤怒的話，閣下必 定是數(shù)學(xué)狂魔，而且是絕代混蛋，數(shù)界的陳冠希們會(huì)上門(mén)跪拜求教。不過(guò)看官放心，多數(shù)疑 問(wèn)到后面會(huì)慢慢澄清，到達(dá)頓悟是突然的，不可預(yù)測(cè)的，但只要稍有耐心它又是必然的。 那就繼續(xù)講集合、算子。 一類研究得比較充分的線性映像是線性微分算子。簡(jiǎn)單而言，線性微分算子就是一階，二階， ...導(dǎo)數(shù)拼湊成的算子多項(xiàng)式：

a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf

這里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多項(xiàng)式。看官可以驗(yàn)證一下，它滿足線性映像條件。 假如f是多個(gè)變量，x_1,x_2,...,x_n的函數(shù)，則上述方程推廣成n元微分算子多項(xiàng)式方程， 顯然這種微分算子包含對(duì)單個(gè)變量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...階）導(dǎo)數(shù)，也包含對(duì)不同變量 的交叉導(dǎo)數(shù)，而每個(gè)導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，寫(xiě)成一般的表達(dá)式為：a_(i_1,i_2,i_3,...),

i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它們都是x_1,x_2,...x_n的多項(xiàng)式。

正如代數(shù)多項(xiàng)式的根是代數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題一樣，算子多項(xiàng)式的"根"，即給定空間上的微分方 程之零頻解問(wèn)題，是微分拓?fù)鋵W(xué)里的基本問(wèn)題，簡(jiǎn)單地說(shuō)也就是一般空間上的偏微分方程 （PDE）求解問(wèn)題。

正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判別式b^2-4ac＝正、負(fù)、零分別對(duì)應(yīng)兩實(shí)根、兩復(fù)根、重 根的情況一樣，PDE也依系數(shù)之關(guān)系決定解的差異，因而有拋物算子、橢圓算子、雙曲算子 等之分。PDE的判別式由通過(guò)叫象征的東西給出：簡(jiǎn)單而言，就是將要解的PDE轉(zhuǎn)成其富里葉 形式，

a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ

將其按x和ξ的冪次之和歸并，最高次微分項(xiàng)最重要，故用其系數(shù)a_(jn)拼湊出n×n主象征 （矩陣）。主象征矩陣是對(duì)稱的。比如二次PDE的主象征矩陣是2×2，三次PDE的主象征矩陣 是3×3...依主象征矩陣之正定，零和負(fù)定分別給出橢圓，拋物和雙曲微分算子。 因此，橢圓算子定義為：如果微分算子主象征矩陣之行列式非零（主象征矩陣有逆矩陣）， 則為橢圓算子。

我們做幾個(gè)小練習(xí)。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是兩個(gè)看上去相當(dāng)像的微分方程，但 它們的解的性質(zhì)卻大相徑庭。第一個(gè)解是平庸的，第二個(gè)解是解析函數(shù)，擁有極豐富的內(nèi)涵。 從它們的（主）象征：ia – ib 與 ia + b看，很清楚。第一個(gè)方程的象征在a=b時(shí)都會(huì)為零， 而第二個(gè)僅在a=b=0時(shí)才會(huì)為零，故第二個(gè)方程是橢圓型的，而且只有一個(gè)解，其解空間是 一維的（橢圓偏微分方程擁有有限維的解空間）。

看官可以親自驗(yàn)證，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是橢圓算子。 同理，也可以判斷出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是橢圓算子，因?yàn)槠湎笳鳛?- a^2 - b^2，而另一個(gè)常用的達(dá)朗貝爾算子（D＇Alambertian）必須限制在光錐外才是橢 圓算子。

我們考慮緊致流形，緊致大體就是有限的意思。泛函分析可以給出簡(jiǎn)單的定理：緊致流形上 的橢圓算子之ker和coker都是有限維的，即所謂Fredholm的。前面講過(guò)，對(duì)于算子或映射 D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就說(shuō)明存在D不能映到的地方，也就是 說(shuō)在W上存在額外的限制條件或約束條件。所以，對(duì)緊流形，橢圓算子自動(dòng)暗含它就是 Fredholm算子。一般解析指標(biāo)：ind_ana = dim ker D – dim coker D.

至此，可以解釋所謂"微分算子解析指標(biāo)是個(gè)拓?fù)洳蛔兞?是什么意思了。就是指算子里的主 象征矩陣元作連續(xù)變化時(shí)上述解析指標(biāo)ind_ana不會(huì)改變。或者說(shuō)，有無(wú)限多個(gè)PDE的解析指 標(biāo)相等（雖然他們的解的具體形式會(huì)有差異）。AS定理告訴你這個(gè)值是該微分算子作用的流 形的拓?fù)湫再|(zhì)所決定（難怪與主象征參數(shù)變化無(wú)關(guān)！）。AS定理也告訴你如何具體算出這個(gè) 指標(biāo)的值，也就是說(shuō)到底是流形的哪個(gè)拓?fù)洳蛔兞繉?duì)應(yīng)那些（無(wú)限多個(gè)）橢圓算子的解析指 標(biāo)。

好，集合與映像聯(lián)合王國(guó)的基礎(chǔ)概念就暫時(shí)介紹到這，其實(shí)也沒(méi)有太多別的啦。如果到此你 還沒(méi)有產(chǎn)生恐懼感，我認(rèn)為你絕對(duì)有起碼的數(shù)學(xué)天賦，品嘗幾口21世紀(jì)數(shù)學(xué)飯館的酒菜還是 受得了的，甚至能夠盡情玩樂(lè)享受一番。下面講一個(gè)具體的集合的例子，跟本主題有關(guān)的空 間，即纖維叢。

描寫(xiě)變化的函數(shù)，如車輛飛機(jī)的路線，股票的漲落，影音訊號(hào)，都是用平面曲線記錄的，因 此，X-Y坐標(biāo)系人人會(huì)讀，人人要用。其實(shí)帶坐標(biāo)系的二維平面就是一個(gè)纖維叢。我們可以想 象整個(gè)平面是一根Y向直線橫掃X空間而形成的。被橫掃的空間（這里是X）叫底空間，那根 直線就是纖維。

從另一個(gè)角度看，我們也可以將XY平面當(dāng)作一個(gè)乘積空間，即每一個(gè)X點(diǎn)可以與Y的每一點(diǎn)相 乘得到一條直線。

當(dāng)然這是一個(gè)太平庸的例子，但一般意義的纖維叢確實(shí)是乘積空間的推廣。"推廣"了什么？ 剛才的例子之所以叫平庸，是因?yàn)樗總€(gè)地方的乘法完全一樣，不同X的地方的Y直線毫無(wú)差 異，就像紅朝人民的腦袋，萬(wàn)眾一心，平庸得可怕。總而言之，一張四平八板的紙片確實(shí)有 點(diǎn)無(wú)聊。不過(guò)，稍微變一下就可以別開(kāi)生面，例如，將紙帶扭一圈或幾圈以后對(duì)接，形成 Mobius帶子。哈！你沒(méi)辦法用簡(jiǎn)單的坐標(biāo)系或通用的乘法了。局部看來(lái)，小人度腹，依然是 個(gè)"平面方形"，直線段尚在，依然可以用乘積空間描寫(xiě)，但稍微走遠(yuǎn)一點(diǎn)就發(fā)現(xiàn)，原來(lái)的"Y 直線"整條都是直的而且對(duì)得很齊但現(xiàn)在"彎掉了"，不對(duì)齊了。跳出三界，來(lái)個(gè)全觀，則發(fā)現(xiàn)， 相鄰的彎掉的直線之間的關(guān)系（轉(zhuǎn)換函數(shù)或聯(lián)絡(luò)）與扭曲的程度有關(guān)。 簡(jiǎn)言之，底空間各個(gè)地點(diǎn)各有各的纖維空間，就是非平庸叢了。

為了對(duì)閣下負(fù)責(zé)，對(duì)底空間，要做點(diǎn)補(bǔ)充。

第一是底空間無(wú)須平直，可以彎折。這個(gè)不奇怪，地球表面，閣下的俊臉貴體，都是彎曲空 間。不彎還不行。沒(méi)有曲線美。問(wèn)題就大了。

第二，空間的長(zhǎng)度單位（標(biāo)準(zhǔn)尺）可以隨位置甚至?xí)r間而變，即，各個(gè)地方的長(zhǎng)度單位還不 一樣（上海的1尺是廣州的9寸）。這就是最通用的黎曼空間了。黎曼提出這種空間60余年以 后，愛(ài)因斯坦找到了一個(gè)物理實(shí)例（使之成為最偉大的科學(xué)家），也就是閣下所在的宇宙， 其實(shí)就是一個(gè)黎曼空間。真是不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。當(dāng)然閣下想看到尺子鐘表 不一樣，或者看到時(shí)空之彎曲，您得稍微走高一點(diǎn)看才行，例如走100萬(wàn)光年回頭看。藉助 現(xiàn)代儀器如原子鐘，地面與衛(wèi)星軌道的時(shí)間差異就可以量出來(lái)。這里終于搭上了短江兄的GR 話題。

這有個(gè)休息亭，好，歇一會(huì)：一些人覺(jué)得像流形、非歐空間或彎曲空間難以捉摸，這里試著 從一種特別的角度解釋一下。我們回顧一下微積分干了什么。依我看，其實(shí)就是用古希臘數(shù) 學(xué)家們關(guān)于線段、長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體的已知結(jié)果（長(zhǎng)度、面積和體積）用來(lái)量度一般曲線、曲 面和曲體的長(zhǎng)度、面積和體積。其中用到的一個(gè)基本假設(shè)就是，不管多么"彎曲"的東西，總 可以找到一個(gè)足夠小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小線段、微長(zhǎng) 方形或微長(zhǎng)方體為"尺子"拼湊出任意的形狀或體系。微分幾何的大部分也就是告訴你如何用 微小的平直空間來(lái)建造一個(gè)"任意的"流形，所以基本思想還就是那一點(diǎn)東西在兜來(lái)兜去。 非歐空間簡(jiǎn)單講就是一個(gè)到處充滿奸商政痞地頭蛇的國(guó)度，尺度和時(shí)間或物價(jià)等標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)學(xué) 家叫度規(guī)）由這些地頭蛇制訂。經(jīng)歷千萬(wàn)年演化，這些地頭蛇現(xiàn)在都成了蛇精，變態(tài)已極， 弄得流形上每一點(diǎn)都有其自己的度規(guī)標(biāo)準(zhǔn)，成語(yǔ)"點(diǎn)化成精"得改成"精化成點(diǎn)"。對(duì)于一個(gè)生 活在這個(gè)國(guó)度的人而言，弄清各個(gè)地頭蛇之度量時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)之兌換率是至關(guān)重要的，這個(gè)兌換 率就叫做聯(lián)絡(luò)（系數(shù)）。有人可能會(huì)講，度規(guī)確定聯(lián)絡(luò)系數(shù)，簡(jiǎn)直是一句廢話，紐約（N）一 美元是波士頓（B）的95美分，聯(lián)絡(luò)系數(shù)當(dāng)然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大體沒(méi)錯(cuò)。不 過(guò)，你們可能還不知道這些地頭蛇有多么無(wú)恥變態(tài)，原來(lái)，"上海的1尺是廣州的9寸"只是一 個(gè)大體的說(shuō)法。地頭蛇說(shuō)，真正的兌換率還要看你的尺子是朝南北方向量，還是沿東西方向 量，還是朝民主街方向量，還是朝自由大道方向量....也就是度規(guī)還與方向有關(guān)。還有比這 更黑心變態(tài)的地頭蛇嗎？那種國(guó)度最后被上帝警告懲罰，地頭蛇稍有收斂，將同一位置不同 方向的度規(guī)兌換率用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)約束。只要知道三個(gè)互相垂直方向的兩兩兌換率（對(duì)三維 流形總共是9個(gè)，對(duì)吧？）就可以知道任意方向的兌換率。這9個(gè)值就是度規(guī)張量。不同地方 的度規(guī)張量之間的轉(zhuǎn)換（聯(lián)絡(luò)系數(shù)）也可以決定：度規(guī)-->聯(lián)絡(luò)-->曲率（后面細(xì)講）。 這里我們也看到一個(gè)數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)和生物的范式對(duì)應(yīng)：線段、長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體就是數(shù)學(xué) 里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千萬(wàn)萬(wàn)的流形（包括纖維叢）。 休息完，繼續(xù)爬。

底流形上的轉(zhuǎn)換函數(shù)之非平庸由結(jié)構(gòu)群描述。例如，Mobius帶，我們注意到平面與彎折紙帶 可能有整體的差異。這是什么意思呢？從紙帶上垂直于紙面放一根鉛筆，當(dāng)他沿紙帶走一圈 回來(lái)時(shí)，平庸情形沒(méi)有變化，但在扭曲帶上走時(shí)會(huì)反向。的結(jié)構(gòu)群為{1,-1}，-1出現(xiàn)在反向 黏貼的那個(gè)地方。

類似地，纖維也有"轉(zhuǎn)換函數(shù)"的對(duì)應(yīng)物，由叫和樂(lè)群的東西描述。再看Mobius帶。現(xiàn)在，不 同于平庸情形的"相鄰直線或纖維完全等價(jià)"，相鄰"直線"滿足特定的轉(zhuǎn)換關(guān)系（這就是稱為" 局部規(guī)范變換"的東西）。和樂(lè)群歸根到底由結(jié)構(gòu)群決定。

對(duì)于一個(gè)普通的黎曼流形而言，休息時(shí)提了，流形的度規(guī)張量完全決定聯(lián)絡(luò)系數(shù)。而對(duì)于一 個(gè)纖維叢而言，底流形的度規(guī)張量加上纖維的holonomy群才能決定聯(lián)絡(luò)。底流形上完成一個(gè) 循環(huán)時(shí)纖維空間可能沒(méi)有回歸原狀，和樂(lè)群是指纖維變化的變換群。 細(xì)心的朋友可能會(huì)說(shuō)，你講的所謂整體差異還不是那些局部差異（規(guī)范變換）積累起來(lái)的嗎？ 鉛筆指向在扭曲帶上走一圈出現(xiàn)倒向還不是他在走的過(guò)程中慢慢逐步積累起來(lái)的？ 太對(duì)了。把這句話將得更清楚一點(diǎn)，就是給一批大師贏來(lái)功名利祿的東西。包括陳大師省身 先生。即所謂的"將整體不變量用某些局部性質(zhì)的積分表示"。別急，這個(gè)東西我們后面也要 把他弄得清清楚楚明明白白。

至此，看官自己就可以給纖維叢下定義了。需要的東西為：底空間，纖維空間，轉(zhuǎn)換映像， 還有結(jié)構(gòu)群，或簡(jiǎn)記為E（F,M,π,G）。看官看看時(shí)間，您花了多久到這里？數(shù)學(xué)系本科生四 年下來(lái)能到達(dá)這一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。

好，現(xiàn)在講一講切叢，他是最常見(jiàn)的也是最重要的纖維叢。過(guò)底空間上每一點(diǎn)可以畫(huà)出無(wú)限 多條切線，構(gòu)成切平面。因此可以將切平面當(dāng)作纖維與底空間合成一個(gè)纖維叢，故名切叢。 每個(gè)切空間也是一個(gè)向量空間，故切叢也是向量叢。 于是，我們知道所謂纖維叢的截面就是每一根纖維上拿一點(diǎn)（一個(gè)值）來(lái)拼出來(lái)的東西。是 平面曲線y=f(x)的推廣。

以二維球面為底空間的切叢上的一個(gè)截面就是該球面上的一個(gè)向量場(chǎng)。 古典微積分中導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化除以自變量的變化，推廣到纖維叢就是截面的變化（平行移 動(dòng)）對(duì)底流形參數(shù)的變化，這就是聯(lián)絡(luò)（一般有多個(gè)分量）。直感上可以猜到，纖維叢的聯(lián) 絡(luò)由底流形和纖維二者共同決定。

閣下有一個(gè)天生的纖維叢。腦袋表面是底空間，上面長(zhǎng)的頭發(fā)就是纖維，轉(zhuǎn)換函數(shù)依賴于閣 下梳頭的風(fēng)格，結(jié)構(gòu)群為平庸（不是嗎？）。梳梳頭，你得到纖維叢一個(gè)不同的截面。 前已述，群本身也是一個(gè)空間，因而我們可以將結(jié)構(gòu)群的群空間就當(dāng)作纖維空間，這種特殊 的纖維叢叫主叢。既然主叢的纖維與結(jié)構(gòu)群同一，只需標(biāo)出底空間和結(jié)構(gòu)群即可，故主叢記 為P(M，G)。一個(gè)抽象群的元素都可以通過(guò)一些具體動(dòng)作（操作）表現(xiàn)出來(lái)，叫群表示。李 群，平移群，點(diǎn)群，等等天上神仙客都可以來(lái)個(gè)投胎下凡，即具體化。具體化就是選定群元 素作用的場(chǎng)所，即表示空間。神跡在地球上表現(xiàn)。地球就是神的表示空間。看官可以看到， "表示空間"是多么地誤導(dǎo)。當(dāng)初要是叫表演空間多好。既然表演空間也是空間，我們假如將 此表演空間當(dāng)作纖維，也可以構(gòu)成纖維叢，叫主叢誘導(dǎo)的伴侶叢，簡(jiǎn)稱伴叢，記為PxVg，x指 直乘，Vg是結(jié)構(gòu)群G的表演空間，他是一個(gè)向量空間，故伴叢也叫伴向量叢。

下面是插曲，看官盡管可以略過(guò)。

令人驚心動(dòng)魄的是這些看似靈界仙境才有的東西剛好是我們描述自然界的最可靠工具。現(xiàn)在 物理學(xué)家認(rèn)同所有的相互作用都是規(guī)范場(chǎng)刻畫(huà)，而規(guī)范場(chǎng)在數(shù)學(xué)上與纖維叢完全是一回事。 吳大俊和楊振寧證明規(guī)范勢(shì)是纖維叢（主叢）上的聯(lián)絡(luò)，而規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)是纖維叢（主叢底空間） 的曲率。朗朗乾坤其實(shí)只是纖維叢世界之投影，像在我們世界扮演重要角色的電子似乎生活 在三維空間，但實(shí)際上他的波函數(shù)是生活在以三維空間為底的纖維叢中。量子粒子由波函數(shù) 描述，通常包含內(nèi)部自由度。內(nèi)部自由度對(duì)應(yīng)的波函數(shù)可以當(dāng)作纖維，底空間可以是普通的 三維歐氏世界，也可以是（能量算子的）某個(gè)參數(shù)空間。因此，按纖維叢術(shù)語(yǔ)，體系的波函 數(shù)就是叢截面。相位部分有動(dòng)力學(xué)部分，幾何部分和拓?fù)洳糠郑渲泻髢煞N由和樂(lè)群描寫(xiě)。 微觀體系的很多＂古怪＂行為全因于此，例如成鍵機(jī)制，超導(dǎo)，量子霍爾效應(yīng)等等。 插曲完了。

到此，我們完成至少70％了。迷霧漸散，人心趨定。

作為中國(guó)知識(shí)分子聲音的一個(gè)子集，海外中文論壇上總是一片吵罵聲，包括新語(yǔ)絲讀書(shū)論壇 上也有那么多缺乏起碼教養(yǎng)的，連說(shuō)話的basic manners都沒(méi)有，一上來(lái)就是要干架，死活 就是要"講贏"，還有那么多志愿的政府宣傳員和黨工。憑我的第八感，可以看得到那些人血 液里流動(dòng)的毒素和他們精神里的惡瘤。相比之下，短兄和湘女既是正直的熱心人，兼具紳士 /淑女風(fēng)度和義士精神。短兄湘女精神境界令人贊賞，心理健康值得敬佩。因此，謹(jǐn)以今天 這篇拙文獻(xiàn)給短江和湘女。中土這面大鼓，除盛產(chǎn)狼孩這種bad解以外，也還有polik，短兄 和湘女這樣的良解，這面鼓或許還有一點(diǎn)點(diǎn)可能性予以修補(bǔ)

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（4）─先聲─從Euler到Riemann-Roch與Gauss-Bonnet-Chern 學(xué)習(xí)要反覆，無(wú)規(guī)的反覆，易易難難，難難易易，易難難易.......今天來(lái)點(diǎn)輕松的。

從鼓音、聽(tīng)床聯(lián)系到原子分子結(jié)構(gòu)和光譜，從平直空間到非歐幾何，從單一流形到纖維叢， 我們可以看到數(shù)學(xué)是統(tǒng)領(lǐng)科學(xué)和一般生活的最乾凈、最經(jīng)濟(jì)的思維方式。但實(shí)際上，數(shù)學(xué)家 并不像我們通常想像的那樣厲害。前面提到的那些看起來(lái)很怪異的數(shù)學(xué)概念，每一個(gè)都有漫 長(zhǎng)的歷史。數(shù)學(xué)書(shū)中每一句話都是歷經(jīng)無(wú)數(shù)人千錘百鏈共同努力的結(jié)果。 我們今天更要凸顯一個(gè)事實(shí)：絕大多數(shù)數(shù)學(xué)概念都可以以形象為基礎(chǔ)來(lái)理解，也就是說(shuō)絕大 部分?jǐn)?shù)學(xué)是符合直覺(jué)的。不靠推導(dǎo)，不靠計(jì)算，光憑思考，可以學(xué)到（至少可以理解）絕大 部分?jǐn)?shù)學(xué)。

我們今天從AS定理的遠(yuǎn)祖開(kāi)始來(lái)考察一下AS定理的世系演化。

平面三角形的內(nèi)角和等于180度這一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一個(gè)好的 祖先代表。

這個(gè)簡(jiǎn)單例子讓我們看到了幾何體上有代數(shù)，三對(duì)邊夾角之和是個(gè)常數(shù)。因此，我們知道無(wú) 窮多個(gè)三角形之所以能歸為一類，用邊數(shù)為3或角數(shù)為3來(lái)判斷都不夠好，而是因?yàn)橛幸粋€(gè)共 同的不變量π。這個(gè)不變量是幾何不變量。

三角形還有別的不變量嗎？當(dāng)然有。大家可以驗(yàn)算一下：邊數(shù)-頂點(diǎn)數(shù)＝0對(duì)所有三角形也成 立（不許笑！），而且與幾何不變量π沒(méi)有關(guān)系。 這個(gè)不變數(shù)對(duì)任意多邊形（平面的或立體的）都成立：邊數(shù)-頂點(diǎn)數(shù)＝0。有一點(diǎn)點(diǎn)意思了吧。 敏感的同學(xué)可能馬上看到這個(gè)不變數(shù)0是由于任意多邊形都是一個(gè)閉合的東東。 更多一點(diǎn)意思的是，推廣到無(wú)窮多邊形也是成立的，特別是對(duì)圓周也成立，雖然邊和頂點(diǎn)已 經(jīng)難以看出來(lái)了。

于是我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)不變數(shù)0原來(lái)是不僅是三角形的，也不僅是多邊形的，也不僅是圓周的，而 是任意封閉曲線的性質(zhì)。任意封閉曲線有一個(gè)不變數(shù)0。這就是封閉曲線的所謂拓?fù)洳蛔兞俊?到這時(shí)，我們看不到這個(gè)0與邊數(shù)或頂點(diǎn)數(shù)之類的關(guān)系，邊、頂點(diǎn)、形狀、長(zhǎng)度、面積等幾何 量此時(shí)都不是本質(zhì)性的東西。這說(shuō)明幾何之外，還有更一般的不變數(shù)，就是拓?fù)洹Ｍ負(fù)洳蛔?量更有包容性，能夠?qū)Ω嗟臇|西聲明主權(quán)：xxxx自古以來(lái)就是我的領(lǐng)土。 任意封閉曲線有一個(gè)不變數(shù)對(duì)應(yīng)，據(jù)說(shuō)在古希臘就有人提到，但直到18世紀(jì)大數(shù)學(xué)家歐拉才 真正認(rèn)真對(duì)付。歐拉推廣了上述不變數(shù)。他首先發(fā)現(xiàn)任意多面體的表面，存在關(guān)系：面數(shù)- 邊數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)＝2。仿照上述例子，可以輕易地推廣到無(wú)窮多面體表面，推廣到任意封閉體表 面，如球面。可見(jiàn)這個(gè)數(shù)2是所有二維封閉曲面的拓?fù)洳蛔兞浚袣W拉示性數(shù)。想想歐拉活 在18世紀(jì)末，這種今天小孩子都知道的關(guān)系也才200年左右的歷史。因此，必定還存在一些 簡(jiǎn)單美麗的數(shù)學(xué)結(jié)果等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。

歐拉解決封閉曲面的示性數(shù)以后，又進(jìn)一步處理了帶洞的曲面，他發(fā)現(xiàn)（你也可以輕易驗(yàn)證） ，帶洞曲面的示性數(shù)等于無(wú)洞封閉曲面的示性數(shù)減去洞數(shù)。例如，籃球表面挖個(gè)洞以后，其 示性數(shù)就變成1，它拓?fù)涞葍r(jià)于一個(gè)圓盤(pán)或一張紙。輪胎面，也叫環(huán)面，如自行車內(nèi)胎，也可 以想像是一個(gè)實(shí)心多面體先從中間挖掉一塊（也是多面體），再淘空剩下的環(huán)體而得，故有 兩個(gè)洞，由此可得其示性數(shù)為0。

前面講過(guò)，數(shù)學(xué)里的一個(gè)很重要的事就是分類，因?yàn)橐y(tǒng)一，要抽象，就必須知道哪些是同 一類。數(shù)學(xué)上的分類與別的領(lǐng)域的分類之基本原則并無(wú)兩樣─就是以共性為基礎(chǔ)。 看到歐拉示性數(shù)，自然會(huì)想，它能不能用來(lái)做某種分類呢？答案是: you bet!實(shí)際上，二維 曲面的分類僅靠歐拉示性數(shù)就夠了。 任意封閉連通曲面必與下面之一同胚：（1）球面，（2）有限個(gè)環(huán)面連通和，（3）帶交叉 帽（Mobius柄）球面。

交叉帽（cross-cap），可以想像為變肥的Mobius帶，但在倒向處有交線。見(jiàn)圖： 也就是說(shuō)二維曲面就只有這幾個(gè)球面，環(huán)面和交叉帽這幾個(gè)基本類。它們就是二維封閉連通 曲面世界的全部"元素"。（三維曲面的"元素"數(shù)目由Thurston猜出，由Perelman證明，這是 另外的故事了）

高維曲面的歐拉示性數(shù)可以很直接了當(dāng)?shù)赝频茫医Y(jié)果堪稱最美妙的數(shù)學(xué)方程序： 對(duì)n維閉多面體，歐拉示性數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)-邊數(shù)+面數(shù)-3維體數(shù)+...

χ＝ [(-1)^{i}a_{i}]，對(duì)i求和。

也就是說(shuō)，歐拉示性數(shù)是各維子流形之?dāng)?shù)目之加/減。因此，也有人把歐拉示性數(shù)念成交錯(cuò) 和。

歐拉交錯(cuò)和之意義無(wú)論如何強(qiáng)調(diào)都不會(huì)過(guò)份：事實(shí)上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)至少有10種類似的交錯(cuò)和，如 Betti數(shù)，還有后面要講的上同調(diào)等，而每一個(gè)這種交錯(cuò)和的發(fā)現(xiàn)都是數(shù)學(xué)史上的大事！每一 個(gè)這樣的交錯(cuò)和都導(dǎo)致新的驚人發(fā)現(xiàn)！

我們這里來(lái)看一個(gè)從示性數(shù)引發(fā)新思想的小例子。

咋一看封閉線面的這類歐拉示性數(shù)，看官可能會(huì)覺(jué)得有些神秘。但稍微想一想，就可以看出 門(mén)道。對(duì)平面封閉曲線而言，你可能猜想這個(gè)0應(yīng)該與曲線上的點(diǎn)繞一個(gè)中心點(diǎn)跑了一圈以后 回到基點(diǎn)有關(guān)。似乎是切線斜率將所有值掃瞄一次。更仔細(xì)的分析表明，那個(gè)0是曲聯(lián)機(jī)對(duì)每 一點(diǎn)的曲率求和的結(jié)果。

后來(lái)更發(fā)現(xiàn)，這一思想可以推廣到封閉曲面─即歐拉示性數(shù)是曲面上曲率對(duì)整個(gè)曲面積分。 什么是曲率？微積分里講過(guò)曲線的曲率，就是二階導(dǎo)數(shù)。（一階導(dǎo)數(shù)是斜率，沒(méi)有忘吧。） 推廣到高維是直接了當(dāng)?shù)模航?jīng)過(guò)曲面（體）上每一點(diǎn)可以畫(huà)很多（無(wú)限多）條曲線，因此應(yīng) 該有很多（無(wú)限多）個(gè)曲率，分別對(duì)應(yīng)沿（無(wú)限多個(gè)）不同方向的曲線的彎曲程度。一個(gè)點(diǎn) 處有無(wú)限多個(gè)曲率值，你可能會(huì)覺(jué)得是個(gè)麻煩，但實(shí)際上這些曲率并不都是獨(dú)立的。例如， 對(duì)于二維曲面上的點(diǎn)，曲率頂多有9個(gè)獨(dú)立分量，也就是說(shuō)，知道沿9個(gè)方向的曲率值，其他 任何方向的曲率可以推算出來(lái)。這9個(gè)值構(gòu)成所謂的曲率張量。 歐拉示性數(shù)能表示成曲率對(duì)幾何對(duì)象的積分。這是幾何/拓?fù)浣?00多來(lái)的一個(gè)很熱的主題， 可以說(shuō)它直接催生了AS定理及其后裔。

歐拉示性數(shù)能給出流形的洞數(shù)描述，但洞可以有不同維度。系統(tǒng)記錄各維洞的數(shù)目及分布， 有一個(gè)工具叫同倫群。從圖像看很清楚。假如流形上有一些洞，如何標(biāo)記它們呢？最簡(jiǎn)單的 方法就是把每個(gè)洞畫(huà)個(gè)圈，表示"內(nèi)為陷阱，禁止進(jìn)入"。一維洞，用一維圈圍住，二維洞， 得用二維洞才能圍住，依此類推。總而言之，我們總可以用環(huán)繞每個(gè)洞的閉合流形將各維洞 包圍起來(lái)。同倫群的最基本元素就是這樣的包圍圈。我們來(lái)看這些包圍圈為何能形成群。事 實(shí)上對(duì)于每一個(gè)洞，我們可以用無(wú)限多個(gè)可能的包圍圈將其包住，這些包圍圈之間的差異只 是形狀上的，它們都是等價(jià)的，叫同倫等價(jià)，因此同倫群元素是以類為"單位"的。同倫類形 成群的理由則簡(jiǎn)單得無(wú)法形容：對(duì)每個(gè)洞，我們不光可以包圍一次，也可以包圍任意多次， 可見(jiàn)包圍n圈相當(dāng)于是加法：圍一圈，再圍一圈，再圍一圈...。而且我們?nèi)菀鬃⒁獾桨鼑?數(shù)不受次序的影響，因此同倫群是可交換的，即Abel的。更進(jìn)一步，我們不光可以一次只圍 一個(gè)洞，也可以一次圍幾個(gè)洞，形成不同的同倫類。看官想得出來(lái)，同倫類的數(shù)目決定了同 倫群的＂自由元素＂數(shù)目，也就是秩。由于不同維度的洞由不同維度的圍道包圍，故不同維 度的同倫群互相獨(dú)立，也就是說(shuō)，不同維度的同倫群（的元素）不會(huì)攪到一起。

作為一個(gè)例子，我們計(jì)算環(huán)面的同倫群。零階同倫群為零，因?yàn)闆](méi)有一維洞。一階同倫群有 三個(gè)元素（三種不同的同倫類）：環(huán)面上平庸圍道（可以收縮成一點(diǎn)），它們不影響同倫群。 環(huán)面上的非平庸圍道有兩種：一種是圍繞大環(huán)的，一種是圍繞小環(huán)的。兩種非平庸圍道都服 從整數(shù)的加法而成群，是為Z群（整數(shù)群）。因此環(huán)面的一階同倫群為：Z Z。環(huán)面的所有高 階同倫群（大于等于2階）均為平庸（僅含單位）。

看官不妨算一下中間挖掉兩個(gè)小圓的三角板的一階同倫群。

每本拓?fù)鋵W(xué)書(shū)都有一大章講同倫群，一般要花幾十頁(yè)篇幅。憑我的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)效果都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不 如我5到10分鐘的解釋。寫(xiě)成文字就是上面幾行。很多學(xué)生學(xué)完拓?fù)鋵W(xué)還是不知道算簡(jiǎn)單形 狀的同倫群，就是因?yàn)榻滩纳系哪欠N寫(xiě)法是以最錯(cuò)亂的方式寫(xiě)的。 休息亭：基本群。它就是一階同倫群。也就是以一維圍道為同倫類構(gòu)成的群。基本群之所以 重要，除它能描述二維洞以外，它與Poincare猜想之關(guān)連可能是最重要的原因。Poincare猜 想是說(shuō)，與球面S^{n}同倫的 n 維拓?fù)淞餍我欢ㄍ哂?S^{n} 。對(duì)三維流形（Poincare猜 想原始版的流形），可以表成：如果一個(gè)三維流形的基本群與三維球面的一樣，則這個(gè)三維 流形就是一個(gè)三維球面（拓?fù)涞葍r(jià)或同胚）。很奇怪這個(gè)如此"地道的拓?fù)鋵W(xué)"猜想最后竟然 不是用拓?fù)鋵W(xué)方法證明的。

同倫群直觀，又是Abel的，是流形分析的一個(gè)好工具，也有一些美麗的定理幫我們減少計(jì)算。 例如，Bott的一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)是，正交群的同倫群有周期性。這個(gè)我們后面還要比較仔細(xì)地講。 但一般而言，流形的同倫群計(jì)算并沒(méi)有一個(gè)可以依循的通用演算步驟，因而可能很復(fù)雜甚至 沒(méi)辦法算。像一般n維球面的同倫群?jiǎn)栴}還沒(méi)有解決。因此，為了描述流形的組成，還需要?jiǎng)e 的工具。

歐拉示性數(shù)催生的另一個(gè)偉大概念是同調(diào)群。現(xiàn)在同調(diào)已是一個(gè)容易導(dǎo)致混亂的詞，因?yàn)橛?十幾種不一樣的東東都打著同調(diào)這個(gè)旗號(hào)。當(dāng)然從本質(zhì)上講，所有的同調(diào)有一些共性：就是 都對(duì)應(yīng)一個(gè)叫同調(diào)群的Abel群。基本元素為鏈，閉鏈，邊緣鏈（與之對(duì)偶的為上鏈，上閉鏈， 上邊緣鏈）。實(shí)際情況中，我們一般通過(guò)上下文可以得知用的是哪種同調(diào)。 我們這里先講講最簡(jiǎn)單的同調(diào)群，后面再講別的，AS定理至少涉及到四種同調(diào)，我們當(dāng)然都 要解釋。由歐拉示性數(shù)得知，一個(gè)一般的流形可以由一些簡(jiǎn)單的＂元素＂拼成：頂點(diǎn)，邊， 面，體...不同維度的子流形。鏈的概念就是這些小流形的各種組合，如一些頂點(diǎn)加一些連 接線，一些面拼成的多面形。當(dāng)拼出的流形封閉時(shí)，就叫閉鏈，如三角形的三條邊，長(zhǎng)方體 上表面的四條邊，長(zhǎng)方體的的六個(gè)面，都形成閉鏈。看官容易看出，流形的邊緣是特殊的閉 鏈，例如三角形的三條邊，圓盤(pán)的邊緣，球體的表面...所以邊緣鏈必為閉鏈，反之閉鏈不一 定是邊緣鏈。

對(duì)于給定的流形，我們可以形式地用邊緣算子來(lái)求得其邊緣。例如，球體在邊緣算子作用以 后成球面。邊緣的邊緣為零或邊緣沒(méi)有邊緣的事實(shí)可以說(shuō)成邊緣算子作用在邊緣鏈上為零。 因此當(dāng)我們得到一些閉鏈時(shí)，為了將其中的邊緣鏈區(qū)分出來(lái)，可以用邊緣算子去作用它們， 剩下來(lái)的就是非邊緣鏈。不斷作用下去，就得到流形的分解。 因此僅相差邊緣鏈的閉鏈可以當(dāng)作是同一等價(jià)類，即同調(diào)類。也就是說(shuō)，可以將閉鏈按邊緣 鏈作為商得到的群來(lái)表示一個(gè)流形的分解。這就是同調(diào)群。 其實(shí)，同調(diào)有兩種等價(jià)的說(shuō)法，即所謂的上同調(diào)和（下）同調(diào)，前者是由低維往高維走，后 者是由高維往低維走。你知道，這種分法必然沒(méi)有本質(zhì)差異，因此可以不管它。 同調(diào)群的計(jì)算比同倫群來(lái)得可操作多了，在流形上人為畫(huà)些邊，面，得到閉鏈，即可依固定 程序算得同調(diào)群。實(shí)際上，由于我們知道，同調(diào)群閉鏈的差異其實(shí)也是在各維洞附近表現(xiàn)特 別，故由洞數(shù)以及洞之分布，可以幫助我們（猜）得到同調(diào)群。 作為本講的結(jié)束，請(qǐng)看官留意歐拉示性數(shù)有一個(gè)非常優(yōu)美的同調(diào)群語(yǔ)言表述： χ＝ [(-1)^{i}dim h_{i}]，對(duì)i求和。

即歐拉示性數(shù)等于各階同調(diào)群的維數(shù)（也就是Betti數(shù)）之交錯(cuò)和。再次以交錯(cuò)和來(lái)表達(dá)拓 撲不變量！

寫(xiě)到這里，我突然看到詩(shī)興盎然的短江兄，于是也跟著詩(shī)興發(fā)作，特貼出來(lái)與看官分享，并 請(qǐng)短江兄修改。

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頌不變量（polik自由詩(shī)體）

啊，偉大的不變量！

你是思維的燈塔，

你是黑夜的星光。

有你就有共同點(diǎn)，

有你就有恒等式，

有你就有準(zhǔn)繩和皈依。

你是法律，你是指南，

你是地圖，你是基石。

啊，偉大的不變量！

你是科學(xué)的生命，

你是文明的靈魂。

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將不變量換成荊，周末可騙得美餐一頓。

不難理解，尋找不變量是數(shù)學(xué)（物理）的一個(gè)永恒主題。一方面是追求不變量，另一方面是 從完全不同的角度看待幾何或拓?fù)洹Ｎ覀兿旅娴梅珠_(kāi)成平行的兩講（4A）和（4B），然后才 回到正題（4C）。各節(jié)題目預(yù)告如下：

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（4A）─先聲─從Euler到Riemann-Roch與Gauss-Bonnet-Chern： 微分形式，（上）同調(diào)

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（4B）─先聲─從Euler到Riemann-Roch與Gauss-Bonnet-Chern： Morse理論

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（4C）─先聲─從Euler到Riemann-Roch與Gauss-Bonnet-Chern： RR定理及其推廣

閑論Atiyah-Singer指標(biāo)定理（4A）─先聲─從Euler到Riemann-Roch與Gauss-Bonnet-Chern：

微分形式，de Rham（上）同調(diào) 上同調(diào)類有十幾種，名字也混亂。數(shù)學(xué)家里變態(tài)的多，有些人喜歡迷霧好混水摸魚(yú)，有些人 則專門(mén)制造迷霧。我在這里引帶你們躲過(guò)那些害人的東西，直奔要點(diǎn)。我會(huì)在不久的將來(lái)另 文徹底清算數(shù)學(xué)上的各類同調(diào)理論。到時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，同調(diào)湖里的渾水是多么的污濁，而又多 么不應(yīng)該。

中學(xué)微積分知識(shí)告訴我們，對(duì)于一條曲線，一階導(dǎo)數(shù)即切線代表傾斜程度，即斜率，二階導(dǎo) 數(shù)代表彎曲程度，即曲率。推廣到高維情形，依然成立，只是方向多了些，斜率需要多個(gè)獨(dú) 立分量（＝流形維度），而曲率就更多了，是一個(gè)張量。以二維曲面為例。每點(diǎn)的切線（無(wú) 限條）構(gòu)成一個(gè)切平面，一個(gè)平面可由一個(gè)二維向量空間代表。又由于過(guò)每一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)限 多條曲線，故曲率也很多（無(wú)限多），他們的大小滿足從基點(diǎn)到一個(gè)橢球表面的距離，因此 可以用一個(gè)橢球面來(lái)描寫(xiě)二維曲面某一點(diǎn)的曲率，橢球的三個(gè)軸和橢球的方位總共對(duì)應(yīng)6個(gè)獨(dú) 立值，叫做曲率張量的6個(gè)分量：

d^2/dx^2,d^2/dxdy, d^2/dxdz,d^2/dy^2,d^2/dydz, d^2/dz^2.

高維情形依然有切平面，但曲率張量的分量要多一些。

曲率張量的每個(gè)分量是一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)。曲率張量還是反對(duì)稱的，即交換指標(biāo)出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào)。 這是要點(diǎn)。

因此干脆將曲率張量的每個(gè)分量帶上相應(yīng)的dx_idx_j,i,j=1,2,...n. 并且規(guī)定dx_idx_j ＝ - dx_jdx_i，這當(dāng)然與通常微分乘法不同，但體現(xiàn)交換反對(duì)稱性質(zhì)，叫外微分。這個(gè)看似 簡(jiǎn)單的記號(hào)改變，外微分是一個(gè)巨大的創(chuàng)新，對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算至關(guān)重要，更重要的是，它是20世 紀(jì)微分幾何發(fā)展的一個(gè)主動(dòng)力。現(xiàn)代微分幾何都是用這套記號(hào)。很多人都不加"外"字了。這 是最緊要的，建議看官在這里反覆幾次。 將二階導(dǎo)數(shù)配上外微分，就得到了表達(dá)成外微分形式的曲率張量。 巧的是，如此定義微分，積分會(huì)得到巨大簡(jiǎn)化，高維積分與一維積分一樣簡(jiǎn)便。 更巧的是這樣定義的微分形式按乘法構(gòu)成群，叫 (de Rham)上同調(diào)群。 外微分形式還有很多巧，暫先不談。

我們知道，把張量分量當(dāng)作一個(gè)矩陣（高維）的元素以后，張量就是矩陣。因此曲率張量就 是曲率矩陣。微分形式的曲率張量就是微分形式構(gòu)成的矩陣。用矩陣時(shí)，我們希望矩陣行為 端正，例如不要奇異，即有反矩陣存在。否則我們就不理睬它。我們對(duì)待曲率矩陣也是如此， 都假定它是a good guy。這樣我們就可以找他的特征值（即曲率張量的主分量）。我想，如

何求矩陣特征值就不用提了吧，歸根到底就是解行列式而已：

｜Ω-Iλ｜=0

Ω是曲率矩陣，λ是特征值。與平常解矩陣特征值問(wèn)題的唯一差異是，這里的特征值也是微 分形式。

我們知道任何一個(gè)行列式可以展開(kāi)，曲率矩陣對(duì)應(yīng)的特征行列式做展開(kāi)以后，按特征值的冪 次表示出來(lái)：

1 + c_1 λ + c_2 λ^2+....=0 （第一個(gè)系數(shù)總可令其為1，why?）

其系數(shù)c_1,c_2就是第一陳式，第二陳式，....。他們分別是2i（1陳式是微分形式，而且是用來(lái)表示纖維叢的拓?fù)洳蛔兞康淖罴研问剑@樣表示的拓?fù)洳蛔兞?就叫示性類，或特征類，即陳類。

陳式是閉微分形式，非常重要。代表d c_i =0, i=1,2,...表明局部"平"（流形）或"叢局部 ＝局部積"（叢），但其積分非零（整體拓?fù)浞瞧接沽餍?叢不等于流形簡(jiǎn)單乘積），即他們 不是恰當(dāng)微分形式，c_i不能（在整個(gè)流形上）寫(xiě)成全微分形式df_i。 [微積分里講過(guò)，閉形式是指：w = fdx + gdy 滿足 df/dy = dg/dx，因此dw=0, 但w本身不 能寫(xiě)成某個(gè)形式的全微分dW，即f 不一定等于dW/dx，g也不一定等于dW/dy。] 與同倫群的元素為"類"一樣，同調(diào)群的元素也為"類",即同調(diào)類。可以更清楚地寫(xiě)出明顯形式： k維同調(diào)群 ＝ k維閉鏈群/k維邊緣鏈群。同調(diào)群的秩或維由群元素?cái)?shù)目決定，也即自由群部 分的秩。同調(diào)群的扭分量是指交換群中的有限階（非自由）元素。 微分形式組成的同調(diào)類叫de Rham上同調(diào)類，相應(yīng)的群叫de Rham上同調(diào)群。同樣，可以寫(xiě)出 de Rham上同調(diào)群的明顯形式：

k維de Rham上同調(diào)群 ＝ k維閉形式群/k維正合形式群 基礎(chǔ)或基本（上同調(diào)）類就是n維體積元dx_1dx_2...dx_n，積分時(shí)往往要先將"被積函數(shù)" （微分形式）里提取出基本類來(lái)。

Todd類其實(shí)就是陳類的某種重組（也有人叫Todd類為陳類的余類）。所以并非新東西，也是 一些微分形式拼出來(lái)的。之所以特別引入Todd類，目的是他與所謂Betti數(shù)的關(guān)系更直接。 [第4節(jié)講了，betti數(shù)就是流形同調(diào)群（非扭部分）的維數(shù)（秩），其幾何意義為將連通流 形剖分時(shí)，最多可以切幾次而不將其分成兩片。有人直觀但粗略地說(shuō)，"bett數(shù)代表流形上 各維洞的數(shù)目"，知道betti數(shù)可以算出洞數(shù)，但并不是指betti數(shù)就是洞數(shù)！例如，pretzel 的一維betti數(shù)為6而不是洞數(shù)3。]

在最一般的意義下微分算子的作用可以理解為在流形間建立映射，對(duì)切場(chǎng)產(chǎn)生前向映射，對(duì) 余切場(chǎng)（微分形式）產(chǎn)生拉回映射。與本題相關(guān)的是橢圓微分算子的作用在叢截面之間建立 映射，對(duì)余切場(chǎng)（微分形式）產(chǎn)生拉回映射。微分算子象征的陳類在積分時(shí)需要"乘以"Todd 類。

雖然de Rham上同調(diào)類是微分形式類，但多數(shù)人覺(jué)得它比很多別的（上）同調(diào)類反而來(lái)得直觀 友好。其實(shí)，微分形式與邊緣的關(guān)系通過(guò)Stokes定理而表現(xiàn)得淋漓盡致：

或 ，=<∂M,ω>

用文字表達(dá)就是：對(duì)流形整體的積分可以化成對(duì)該流形邊緣的積分，或更一般地，微分算子 是邊緣算子的伴隨算子。所以de Rham上同調(diào)類與閉鏈同調(diào)類實(shí)如形影相伴。Stokes定理對(duì)任 何維度都成立。這個(gè)公式不光美妙，更充滿神秘。我相信任何初次接觸這個(gè)公式的人與看到 愛(ài)因斯坦的質(zhì)能關(guān)系一樣，會(huì)感受自己心靈的震顫！

短江兄談到中國(guó)人服暴力不崇理性，十分中肯。這其實(shí)是所有落后民族社群的共同不變量。 中國(guó)歷史上產(chǎn)生了眾多超級(jí)混混而受人膜拜，卻從未能產(chǎn)生一個(gè)哪怕是玩具版的Stokes定理。 再隨便看看任何表現(xiàn)理性和需要深度的地方，中國(guó)人就得鴨蛋。八卦易經(jīng)、宮廷狗斗、中醫(yī) 風(fēng)水、算命相術(shù)，這些所謂中華文化的精髓就是蒙昧、荒誕及其滋生的暴力風(fēng)格，所謂輝煌 的中國(guó)歷史就是愚民反覆被極少數(shù)看穿這些精髓的魔頭所利用然后很快被烹宰的歷史。方舟 子老師批中醫(yī)，據(jù)理?yè)?jù)實(shí)，用心良苦，糞青叫痛早在預(yù)料之中，但還有那么多朝野"精英"人 物來(lái)抵制方老師，難怪中國(guó)人最多也不可能產(chǎn)生一個(gè)哪怕只是形似Stokes定理的作品。